क्षेत्र `y^(2) > 6x` और वृत्त `x^(2) + y^(2) = 16` में सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

Options

A. `(4)/(3)(4pi- sqrt(3))`
B. `(4)/(3)(4pi + sqrt(3))`
C. `(4)/(3)(8pi - sqrt(3))`
D. `(4)/(3)(8pi + sqrt(3))`

Explanation

वृत्त `x^(2) + y^(2) = 16` तथा परवलय `y^(2) = 6x` है , के प्रतिच्छेद बिन्दु के लिये,

`x^(2) + 6x = 16` (y का विलोपन करने पर)
`rArr x^(2) + 6x - 16 = 0`
`rArr ( x + 8) (x - 2) = 0`
`rArr " " x =- 8 ,2`
`therefore` अभीष्ट क्षेत्रफल
= वृत्त का क्षेत्रफल `-2 xx` (छायांकित भाग का क्षेत्रफल)
` = pi(4)^(2) - 2 [ int_(0)^(2)sqrt(6x)+ int_(2)^(4) sqrt(16-x^(2))dx]`
`= 16 pi - 2sqrt(6)[(x^(3//2))/(3//2)]_(0)^(2) -2 [(x)/(2)sqrt(16-x^(2)) + (16)/(2)sin^(-1).(x)/(4)]_(2)^(4)`
` = 16pi -(4sqrt(6))/(3)(2^(3//2)- 0) - 2[0 + 8sin^(-1)(1)- sqrt(16 - 4)-8sin^(1).(1)/(2)]`
` = 16p - (4sqrt(6)xx 2sqrt(2))/(3) - 2[8 xx (pi)/(2)sqrt(12) - 8 xx (pi)/(12)]`
` = 16pi - (16sqrt(3))/(3) - (16pi)/(3) + 4sqrt(3) = (32pi)/(3)- (4sqrt(3))/(3)`
` = (4)/(3)(8pi - sqrt(3))` वर्ग इकाई