`y=e^(x)(a cos x + b sin x)`

Explanation

दिया है, `y=e^(x)(acos x+b sin x)" ….(1)"`
दोनों ओर `e^(x)` से भाग देने पर,
`e^(-x)y=(a cos x + b sin x)" ….(2)"`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`e^(-x)(dy/dx)+ye^(-x)(-1)=-asin x+b cos x`
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`e^(-x)(d)/(dx)(dy/dx)+(dy/dx)((de^(-x))/(dx))-[y(de^(-x))/(dx)+e^(-x)(dy)/(dx)]=-a cos x-b sin x`
यहाँ `y'' = (d^2 y )/ dx^2`
`y' = (dy )/ dx`
`implies e^(-x)y''+y'e^(-x)(-1)-[ye^(-x)(-1)+e^(-x)y']=-acos x-bsinx`
`implies e^(-x)y''-y'e^(-x)+ye^(-x)-y'e^(-x)=-acos x-bsinx`
`implies e^(-x)y''-2y'e^(-x)+ye^(-x)=-(ye^(-x))` [समीकरण (2) से]
`implies e^(-x)[y''-2y'+2y]=0`
`implies y''-2y'+2y=0` (`e^(-x)` से भाग करने पर)
जो अभीष्ट अवकल समीकरण है।