निम्नलिखित प्रश्नो में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब की दिक् -कोसाइन और मूलबिंदु से दुरी ज्ञात कीजिये :
(a) ` z = 2 `
(b) ` x + y + z = 1 `
(c) ` 2x + 3y - z = 5 `
(d) ` 5y + 8 = 0 `

Explanation

(a) दिए गए समतल का समीकरण z =2 है |
अतः समतल के अभिलम्ब के दिक् अनुपात `0, 0 ` तथा 1 है |
और `sqrt ( 0 ^(2) + 0 ^(2) + 1 ^(2)) =1 `
अतः समीकरण के दोनों पक्षों में 1 से भाग देने पर,
`0* x + 0*y + 1 * z = 2 `
जोकि `lx + my + nz = d ` के रूप में है, जहाँ ` l, m , n ` अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ तथा d , मूलबिंदु से समतल की लाम्बिक दुरी हसी | अतः समतल के अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ `0,0 ` और 1 तथा समतल की मूलबिंदु से दुरी 2 इकाई है |
(b) दिया गया समीकरण निम्न है,
` x + y + z = 1 " " `... (1)
समतल पर अभिलम्ब के दिक् अनुपात निम्न है, 1 , 1 तथा 1
तथा ` sqrt ( 1 ^(2) + 1 ^(2) + 1 ^(2) ) = sqrt ( 3) `
समीकरण (1 ) के दोनों पक्षों में ` sqrt3` से भाग करने पर,
` ( 1 ) /(sqrt3) x + ( 1 ) /(sqrt3) y + ( 1) /(sqrt3) z = ( 1) /(sqrt3) `
जो ` lx + my + nz = d ` के रूप का है |
अतः समतल पर अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ ` ( 1 ) /(sqrt3) , ( 1 ) /(sqrt3) ` और ` ( 1) /(sqrt3) ` तथा समतल की मूलबिंदु से दुरी ` ( 1 ) /(sqrt3) ` इकाई है |
(c) दिया गया समीकरण निम्न है ` 2 x + 3y - z = 5 ` ... (1)
अभिलम्ब के दिक् अनुपात ` 2, 3 ` तथा ` - 1 ` है |
तथा ` sqrt ( 2^(2) + 3 ^(2) + ( - 1 ) ^(2) ) = sqrt ( 14 ) `
समीकरण (1 ) के दोनों पक्षों में ` sqrt ( 14) ` से भाग देने पर,
` ( ( 2) /( sqrt ( 14))) x + ( ( 3 ) /(sqrt( 14)) ) y + ( - ( 1 )/(sqrt( 14))) z = ( 5) /( sqrt( 14)) `
जो ` lx + my + nz = d ` के रूप का है |
अतः समतल पर अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ ` ( 2)/(sqrt( 14) ), ( 3 ) /(sqrt( 14)) ` और ` - ( 1 ) /(sqrt( 14)) ` है तथा समतल की मूलबिंदु से दुरी ` ( 5) /(sqrt ( 14)) ` इकाई है |
(d) दिया गया समीकरण निम्न है, ` 5y + 8 = 0 `
इसे निम्न रूप में लिख सकते है,
` 0 x + ( - 1) y + 0 z = ( 8) /(5) `
जोकि `lx + my + nz = d ` के रूप का है |
अतः समतल पर अभिलम्ब की दिक् कोज्याएँ ` 0, - 1 ` तथा 0 है तथा समतल की मूलबिंदु से दुरी ` ( 8) /(5) ` इकाई है |