निम्नलिखित प्रतिबंधों के अंतर्गत समतलो का सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो :
(a) बिंदु `(1, 0 , - 2 ) ` से जाता हो और ` hati + hatj - hatk ` समतल पर अभिलम्ब है |
(b) बिंदु ` (1, 4 , 6) ` से जाता हो और ` hati - 2 hatj + hatk ` समतल पर अभिलम्ब सदिश है |

Explanation

(a ) बिंदु ` ( 1, 0, - 2 ) ` का स्थिति सदिश ` veca = hati - 2 hatk ` समतल पर अभिलम्ब N का स्थिति सदिश ` vecN = hati + hatj - hatk ` है |
समतल का सदिश समीकरण निम्न है ` ( vecr - veca ) * vecN = 0 `
`[vecr - ( hati - 0 hatj - 2 hatk ) ] * ( hati + hatj - hatk ) = 0 `
जहाँ, ` vecr ` समतल पर स्थिति किसी बिंदु `P (x, y , z ) ` का स्थित सदिश है |
अब ` vec r = x hati + y hatj+zhatk `
` therefore [( xhati + yhatj + zhatk ) - ( hati + 0 hatj - 2hatk ) ]* ( hati + hatj- hatk ) = 0 `
` rArr [ ( x - 1 ) hati + yhatj + (z + 2 ) hatk ]*( hati - 2hatj + hatk ) = 0 `
` rArr [( x - 1) hati + ( y - 4 ) hatj + ( z - 6) hatk ]* ( hati - 2 hatj + hatk ) = 0 `
` rArr ( x - 1 ) -2( y - 4) + (z - 6 ) = 0 `
` rArr x - 2y + z + 1 = 0 `
जोकि अभीष्ट समतल का कार्तीय समीकरण है |