उन समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिंदुओं से गुजरता है |
(a) ` ( 1, 1 , - 1), (6, 4, - 5 ), ( - 4, -2, 3 ) `
(b) ` ( 1, 1 , 0 ) , ( 1, 2, 1 ) , (-2, 2 ,- 1) `

Explanation

(a) दिए गए बिंदु ` A ( 1, 1 , - 1 ), B( 6, 4, - 5 ) ` तथा ` C ( -4, - 2 , 3 ) ` है |
सबसे पहले बिंदुओं के संरेखीय होने का परीक्षण करते है |
` therefore |{:(x_1,, y _1,, z _ 1 ) , ( x _ 2,, y _2,, z _ 2 ) , ( x _3,, y _ 3 ,, z _ 3 ) :}| = |{:( 1,,1,,-1 ) , (6,, 4 ,, -5 ) , ( - 4,, - 2 ,, 3 ) :}| `
` = 1 ( 12 - 10 ) - 1 ( 18 - 20 ) - 1 ( -12 + 16) `
` = 2 + 2 -4 = 0 `
चूँकि दिए गए तीन बिंदु संरेखीय है | अतः तीनो बिंदुओं से होकर जाने वाले समतलों की संख्या अनंत है |
(b) दिए गए बिंदु ` A ( 1, 1, 0 ) , B( 1, 2 , 1 ) ` तथा ` C ( -2, 2, -1 ) ` है |
सबसे पहले बिंदुओं के संरेखीय होने का परीक्षण करते है |
`|{:(x _ 1,, y _ 1,, z _ 1 ) , ( x _ 2,, y _2,, z _ 2 ) , ( x_3,, y _ 3,, z _ 3 ) :}| = |{:( 1,,1,,0),( 1,, 2,,1 ), ( -2,,2,, - 1 ):}| `
` = 1 ( -2 - 2 ) - 1 ( - 1+ 2 ) + 0 ( 2 + 4 ) `
` = - 5 ne0`
अतः तीनो बिंदु A, B तथा C संरेखीय नहीं है |
तीन बिंदुओं `( x _ 1 , y _ 1 , z_ 1 ) , ( x _ 2 , y _ 2 , z _ 2 ) ` तथा ` ( x _3, y _ 3 , z _ 3 ) ` से होकर जाने वाले समतल का समीकरण निम्न है ,
` |{:(x - x _ 1 ,, y - y _ 1 ,, z - z _ 1 ) ,( x _ 2 - x _ 1 ,, y _ 2 -y _ 1 ,, z _ 2 - z_ 1 ) ,( x _ 3 - x _ 2 ,, y _ 3 - y _ 2,, z _ 3 - z _ 2 ):}| = 0 `
` rArr | {:( x - 1,,y -1 ,, z ) ,( 0,,1,,1 ) , ( -3,,0,,-2 ) :}| = 0 `
` rArr - 2 ( x - 1 ) - 3 ( y - 1 ) + 3z = 0 `
`rArr - 2x + 2 - 3y + 3+ 3z = 0 `
`rArr 2x + 3y - 3z - 5 = 0 `
` rArr 2x + 3y - 3z = 5 `
जोकि समतल का अभीष्ट समीकरण है |