(a) दिए गए समतल निम्न है ,
` 7x + 5y + 6z + 30 = 0 ` तथा ` 3x - y - 10 z + 4 = 0 `
यहाँ, ` a _ 1 = 7, b_ 1 = 5, c _ 1 = 6 `
तथा ` a _ 2 = 3, b _ 2 = - 1, c _ 2 = - 10 `
` therefore a _ 1 a _ 2 + b _ 1 b _ 2 + c _ 1 c _ 2 = 7 xx 3 + 5 xx ( - 10 ) `
` = 21 -5 - 60 = - 44 ne 0 `
अतः दिए गए समतल लंबवत नहीं है |
अब ` ( a _ 1 ) /(a_ 2 ) = ( 7) /(3), ( b _ 1 ) /(b _2 ) = ( 5) /( - 1 ) = -5, ( c _1) /(c _ 2 ) = ( 6) /(-10) ( -3) /(5) `
स्पष्ट है कि ` ( a _ 1 ) /(a _ 2 ) ne ( b _ 1 ) /(b _2 ) ne ( c _ 1 ) /(c _ 2 ) `
अतः दिए गए समतल समांतर है |
माना दोनों समतलों के बीच का न्यून कोण ` theta ` है, तब
` cos theta = | ( 7 xx 3 + 5 xx ( - 1) + 6 xx ( - 10 ) ) /(sqrt ( 7 ^(2) + 5 ^(2) + 6 ^(2)) sqrt ( 3 ^(2) + ( - 1 ) ^(2) + ( - 10 ) ^(2))) | `
` = |( 21 - 5 - 60 ) /(sqrt( 110) sqrt ( 110))|`
` rArr cos theta = (44) /(110 ) = ( 2) /(5) rArr theta = cos ^( - 1 ) ((2)/(5)) `
अतः दिए गए समतलों के बीच का कोण ` cos ^( - 1 ) (2//5) ` है |
(b) दिए गए समतल निम्न है, ` 2x + y + 3z - 2 = 0 ` तथा ` x - 2y + 0z + 5 = 0 `
यहाँ, ` a _ 1 = 2, b _ 1 = 1, c _ 1 = 3 ` तथा ` a _ 2 = 1, b _2 = - 2, c _ 1 = 4 `
` therefore a _ 1 a _ 2 + b_ 1 b _ 2 + c _ 1c_ 2 = 2xx 1 + 1 xx ( - 2 ) + 3 xx 0 = 0 `
अतः दिए गए समतल लंबवत है |
(c) दिए गए समतल निम्न है
` 2x - 2y + 4 z + 5 = 0 ` तथा ` 3x - 3y + 6 z - 1 = 0 `
यहाँ , ` a _ 1 = 2, b _ 1 = - 2, c _ 1 = 4 `
तथा ` a_2 =3, b _ 2 = -3, c_ 2 = 6 `
` therefore a _ 1 a _ 2 + b _ 1 b _ 2 + c _ 1 c _ 2 = 2 xx 3 + ( - 2 ) xx ( - 3 ) + 4 xx 6 `
` = 6 + 6 + 24 = 36 ne 0 `
अतः दिए गए समतल लंबवत नहीं है |
अब ` ( a _ 1 ) /(a _2) = ( 2 ) /(3), ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( - 2 ) /(- 3 ) = ( 2 ) /(3), ( c _ 1 ) /(c_ 2 ) = ( 4 ) /(6) = ( 2 ) /(3) `
स्पष्ट है कि ` ( a _ 1) /(a _ 2 ) = (b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( c_ 1 ) /(c _2) `
अतः दिए गए समतल समांतर है |
(d) दिए गए समतल निम्न है
` 2x - y + 3z - 1 = 0 `
तथा ` 2x - y + 3z + 3 = 0 `
यहाँ, ` a _ 1 = 2, b _ 1 = - 1 , c _ 1 = 3 `
तथा ` a _ 2 = 2, b _ 2 = - 1 , c _ 2 = 3 `
` therefore a _ 1 a _ 2 + b_ 1 b _ 2+ c _ 1 c _ 2 = 2xx 2 + ( - 1 ) xx ( - 1 ) + 3 xx 3 `
` = 4 + 1 + 9 = 14 ne 0 `
अतः दिए गए समतल लंबवत नहीं है |
अब ` ( a _ 1 ) /(a_ 2 ) = ( 2 ) /(2) = 1, ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( - 1 ) /( - 1 ) = 1, ( c _ 1 ) /(c_2) = ( 3) /(3) = 1 `
स्पष्ट है कि ` ( a _1 ) /(a _ 2 ) = ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( c _ 1 ) /(c _ 2 ) `
अतः दिए गए समतल समांतर है |
(e) दिए गए समतल निम्न है
` 4x + 8y + z - 8 = 0 ` तथा ` 0x + 1y + 1z - 4 = 0 `
यहाँ ` a _ 1 = 4, b _ 1 = 8, c _ 1 = 1 `
तथा ` a_ 2 = 0 , b _ 2 = 1 , c _ 2 = 1 `
` therefore a _ 1 a _ 2 + b _ 1 b _ 2 + c _ 1 c _ 2 = 4xx 0 + 8 xx 1 + 1 xx 1 `
` = 0 + 8 + 1 = 9 ne 0 `
अतः दिए गए समतल लंबवत नहीं है |
अब ` ( a_1 ) /(a_ 2) = ( 4)/(0), ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) = ( 8)/(1 ) = 8, ( c _ 1 ) /(c _ 2) = ( 1 ) /(1) = 1 `
स्पष्ट है कि ` ( a _ 1 ) /(a_ 2) ne ( b _ 1 ) /(b _ 2 ) ne ( c _ 1 ) /(c_ 2 ) `
अतः दिए गए समतल समांतर नहीं है |
माना दोनों समतलों के बीच का न्यून कोण ` theta ` है, तब
` cos theta = |( a _ 1 a _ 2 + b _ 1 b _2 + c _ 1 c _ 2 ) /(sqrt((a _ 1 ^(2) + b _ 1 ^(2) + c _1^(2))) sqrt ( a _ 2 ^(2) +b _2 ^(2) + c _ 2 ^(2)))| `
` = |( 4 xx 0 + 8 + 1 xx 1 ) /(sqrt( 4 ^(2) + 8 ^(2) + 1 ^(2)) sqrt( 0 ^(2) + 1 ^(2) + 1 ^(2)))| `
` = | ( 9) / ( 9 xx sqrt 2 ) | `
` rArr cos theta = ( 1 ) /(sqrt2 ) rArr theta = cos ^(-1) ((1) /(sqrt2)) = 45^(@)`
