समतलों ` vecr *( hati + 2hatj + 3hatk ) - 4 = 0 ` और ` vecr * ( 2hati + hatj - hatk ) +5 = 0 ` के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल ` vecr * ( 5hati + 3hatj - 6hatk ) + 8 = 0 ` के लंबवत तल का समीकरण ज्ञात कीजिए |

Explanation

दिए गए समतल निम्न है
` vecr * ( hati + 2hatj + 3hatk ) - 4 = 0 ` ... ( 1 )
` vecr * ( 2hati + hatj - hatk ) + 5 = 0 ` ... ( 2 )
तथा ` vecr * ( 5hati + 3hatj - 6 hatk ) + 8 = 0 ` ... ( 3 )
समतल (1 ) तथा (2 ) के प्रतिच्छेद समतल का समीकरण निम्न है,
` [ vecr * ( hati + 2hatj + 3hatk ) - 4] + lamda [vecr * ( 2hati + hatj - hatk ) + 5] = 0 `
` rArr [ vecr * ( 1 + 2lamda ) hati + ( 2 + lamda ) hatj + ( 3 - lamda ) hatk ) ] + ( 5lamda - 4 ) = 0 ` ... ( 4 )
यह समतल, समतल (3 ) के लंबवत है |
` therefore " " 5 ( 1 + 2 lamda ) + 3 ( 2 + lamda ) - 6 ( 3 - lamda ) = 0 `
` rArr 19 lamda = 7 rArr lamda = ( 7 ) /(19) `
` lamda ` का मान समीकरण (4 ) में रखने पर, ` vecr * [ ( 1 + ( 14 ) /(19)) hati + (2 + ( 7 ) /(19)) hatj + ( 3 - ( 7 )/(19) ) hatk ] + (35 ) /(19) - 4 = 0 `
` rArr vecr * [ ( ( 33 ) /(19)) hati + ((45 )/(19))hatj + ((50)/(19))hatk] - (41) /(19) = 0 `
` rArr r * ( 33 hati + 45 hatj + 50 hatk ) - 41 = 0 `... (5 )
जोकि अभीष्ट समतल का सदिश समीकरण है |
` r = x hati + y hatj + zhatk ` समीकरण (5 ) में रखने पर समतल का कार्तीय समीकरण निम्न है,
` ( x hati + y hatj + zhatk ) * ( 33hati + 45 hatj + 50 hatk ) - 41 = 0 `
` rArr 33x + 45 y + 50 z - 41 = 0 `