बिंदु ` ( 1, 2 , 3 ) ` से जाने वाली तथा समतलों ` vecr * ( hati - hatj + 2hatk ) = 5 ` और ` vecr * ( 3hati + hatj + hatk ) = 6 ` के समांतर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए |

Explanation

माना अभीष्ट रेखा का समीकरण सदिश ` vecb = b _ 1 hati + b _ 2 hatj + b _ 3 hatk ` के समांतर है |
बिंदु ` ( 1, 2, 3 ) ` का स्थित सदिश ` veca = hati + 2hatj + 3hatk ` है |
बिंदु ` ( 1, 2, 3 ) ` से होकर जाने वाली तथा सदिश b के समांतर रेखा का समीकरण निम्न है,
` vecr = veca + lamda vecb `
` therefore vecr = ( hati + 2 hatj + 3hatk ) + lamda ( b _ 1 hati + b _ 2 hatj + b _ 3 hatk ) ` ... (1)
दिए गए समतल के समीकरण निम्न है ,
` vecr ( hati - hatj + 2hatk ) = 5 " " ` ... ( 2)
तथा ` vecr *( 3hati + hatj + hatk ) = 6 " " ` ... (3)
चूँकि (1 ) तथा समतल (2 ) समांतर है, अतः रेखा (1 ) समतल के अभिलम्ब के लंबवत होगी |
` therefore ( hati - hatj + 2hatk ) * lamda ( b _ 1 hati + b _ 2 hatj + b _ 3 hatk ) = 0 `
` rArr lamda ( b _ 1 - b _ 2 + 2 b _ 3 ) = 0 `
` rArr ( b _ 1 - b _ 2 + 2 b_ 3 ) = 0 ` ... (4)
इसी प्रकार, ` ( 3hati + hatj + hatk ) * lamda ( b _ 1 hati + b _ 2 hatj + b _ 3 hatk ) = 0 `
` rArr lamda ( 3 b _ 1 + b _ 2 + b _ 3 ) = 0 `
` rArr ( 3 b _ 1 + b _ 2 + b _ 3) = 0 ` ... (5)
समीकरण (4 ) तथा (5 ) से,
` ( b _ 1 ) /(( - 1 ) xx 1 - 1 xx 2 ) = ( b _ 2 ) /( 2xx 3 - 1 xx 1 ) = ( b _ 3 ) /( 1 xx 1 - 3 ( - 1 )) `
` rArr ( b _ 1 ) /( - 3 ) = ( b _ 2 )/( 5 ) = ( b _ 3 ) /(4) `
b के दिक् अनुपात ` - 3, 5 ` तथा 4 है |
` therefore vecb = b _ 1 hati + b _ 2 hatj + b _ 3 hatk = - 3hati + 5hatj + 4hatk `
b का मान समीकरण (1 ) में रखने पर,
` vecr = ( hati + 2hatj + 3hatk ) + lamda ( - 3hati + 5hatj + 4hatk ) `
जोकि अभीष्ट रेखा का समीकरण है |