एक कुटीर उद्योग निर्माता पेडेस्टल लैंप और लकड़ी के शेड बनाता है । प्रत्येक के निर्माण में एक रगड़ने/कटाने और एक स्प्रेयर की आवश्यकता पड़ती है । एक लैंप के निर्माण में 2 घण्टे रगड़ने/कटाने और 3 घण्टे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निर्माण में 1 घंटा रगड़ने/कटाने और 2 घण्टे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है । स्प्रेयर की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 20 घण्टे और रगड़ने/कटाने की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 12 घण्टे के लिए उपलब्ध है । एक लैंप की बिक्री पर Rs 5 और एक शेड की बिक्री पर Rs 3 का लाभ होता है । यह मानते हुए की सभी निर्मित लैंप और शेड बिक जाते है, तो बताइए वह निर्माण की प्रतिदिन कैसी योजना बनाए की लाभ अधिकतम हो?

Explanation

माना एक निर्माणकर्ता प्रत्येक दिन x पैडेस्टल लैंप तथा y लकड़ी के शेड बनाता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है ।

अधिकतमीकरण `Z = 5x + 3y " " … (1)`
व्यवरोध `2x + y le 12 " " … (2)`
`3x + 2y le 20 " " ... (3)`
`x ge 0, y ge 0 " " ... (4)`
सरल पहले रेखा 2x + y = 12 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `2x + y le 12` में रखने पर,
`2 xx 0 + 0 le 12`
`rArr 0 le 12` (सत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है ।
चूँकि `x, y ge 0`
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा ।
अब, रेखा 3x + 2y = 20 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `3x + 2y le 20` में रखने पर,
`3 xx 0 + 2 xx 0 le 20 rArr 0 le 20`
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है ।

समीकरण 2x + y = 12 तथा 3x + 2y = 20 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 4) प्राप्त होता है ।
अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है ।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(6, 0), B(4, 4) तथा C(0, 10) हैं । इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का निम्न है ।

Z का बिंदु B(4, 4) पर अधिकतम मान Rs 32 है । अतः अधिकतम लाभ कमाने के लिए निर्माणकर्ता को 4 पैडेस्टल लैंप तथा 4 लकड़ी के शेड उत्पादित करने चाहिए ।