एक कंपनी प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिन्ह का निर्माण करती है । A प्रकार के प्रति स्मृति चिन्ह के निर्माण में 5 मिनट कटाने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं । B प्रकार के प्रति स्मृति चिन्ह के लिए 8 मिनट कटाने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं । दिया गया है की कटाने के लिए कुल समय 3 घण्टे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घण्टे उपलब्ध हैं । प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिन्ह पर Rs 5 और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिन्ह पर Rs 6 का लाभ होना है । ज्ञात कीजिए की लाभ की अधिकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिन्हों का कंपनी द्वारा निर्माण होना चाहिए ?

Explanation

माना कंपनी A प्रकार के स्मृति चिन्ह x तथा B प्रकार के स्मृति चिन्ह y उत्पादित करती है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है ।

अधिकतमीकरण `Z = 5x + 6y " " … (1)`
व्यवरोध `5x + 8y le 200 " " ... (2)`
`10x + 8y le 240 rArr 5x + 4y le 120 " " ... (3)`
`x ge 0, y ge 0 " " ... (4)`
सबसे पहले रेखा 5x + 8y = 200 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `5x + 8y le 200` में रखने पर,
`5 xx 0 + 8 xx 0 le 200 rArr 0 le 200,` (सत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा चूँकि `x,y ge 0` अतः
सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा ।
अब, रेखा 5x + 4y= 120 का ग्राफ खींचते हैं ।


(0, 0) असमिका `5x + 4y le 120` में रखने पर,
`5 xx 0 + 4 xx 0 le 120 rArr 0 le 120 ` (सत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है ।
समीकरण 5x + 8y = 200 तथा 5x + 4y = 120 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(8, 20) प्राप्त होता है ।
`therefore` सुसंगत क्षेत्र OABCO है ।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(24,0), B(8,20) तथा C(0, 25) हैं । इन शीर्ष बिंदुओं पर z का मान निम्न है,

Z का अधिकतम मान बिंदु B(8, 20) पर Rs 160 प्राप्त होता है । अतः अधिकतम लाभ Rs 160 प्राप्त करने के लिए A प्रकार के 8 स्मृति चिन्ह तथा B प्रकार के 20 स्मृति चिन्ह उत्पादित करने चाहिए ।