एक भोज्य पदार्थ में कम से कम 80 मात्रक विटामिन A और 100 मात्रक खनिज होना चाहिए । दो प्रकार के भोज्य `F_(1)` और `F_(2)` उपलब्ध हैं । भोज्य `F_(1)` की लागत Rs 4 प्रति मात्रक और Rs `F_(2)` की लागत Rs 5 प्रति मात्रक है । भोज्य `F_(1)` की एक इकाई में कम से कम 3 मात्रक विटामिन A और 4 मात्रक खनिज है । `F_(2)` की प्रति इकाई में कम से कम 6 मात्रक विटामिन A और 3 मात्रक खनिज हैं । इसको एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में सूत्रबद्ध कीजिए । उस आहार के न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए, जिसमे इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमे न्यूनतम पोषक तत्व हैं ।

Explanation

माना भोज्य पदार्थ में `F_(1)` भोज्य x इकाई तथा `F_(2)` भोज्य y इकाई है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है ।

न्यूनतमीकरण `Z = 4x + 6y " " … (1)`
व्यवरोध `3x + 6y ge 80 " " … (2)`
`4x + 3y ge 100 " " ... (3)`
`x ge 0, y ge 0 " " ... (4)`
सर्वप्रथम, रेखा 3x + 6y = 80 ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `3x + 6y ge 80 ` में रखने पर,
`3 xx 0 + 6 xx 0 ge 80 rArr 0 ge 80 ` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है । चूँकि `x, y ge 0` है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है ।
अब, रेखा 4x + 3y = 100 का ग्राफ खींचते हैं ।

(0, 0) असमिका `4x + 3y ge 100` में रखने पर,
`4 xx 0 + 3 xx 0 ge 100`
`rArr 0 ge 100` (असत्य)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर हैं ।
समीकरण 3x + 6y = 80 तथा 4x + 3y = 100 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(24, `4//3`) प्राप्त होता है ।
स्पष्ट है की सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है ।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु `A((80)/(3), 0) B (24, (4)/(3))` तथा `C(0, (100)/(3))` हैं । इन बिंदुओं पर Z का मान निम्न है,

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का निम्नतम मान 104 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है । इसके लिए असमिका `4x + 6y lt 104` या `2x + 3y le 52` ग्राफ खींचते हैं । यहाँ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, अतः मिश्रण की निम्नतम लागत Rs 104 है ।