52 ताश के पत्तों कि एक भली-भाँती फेंटी गई गद्दी में से 5 पत्ते उत्तरोत्तर प्रतिस्थापना सहित निकाले जाते हैं।
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हों?
(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हों?
(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हों?

Explanation

मान लीजिये X पांच निकाले गए पत्तों में से हुकुम के पत्तों कि संख्या को निरूपित करता है। एक भली-भांति फेंटों गई 52 पत्तों कि गद्दी में 13 हुकुम के पत्ते होते हैं।
p=P( एक हुकुम का पत्ता निकालना) `=13/52=1/4`
और `q=1-1/4=3/4`
X एक द्विपद बंटन हैं जंहा, n=5, `p=1/4` तथा `q=3/4`
अतः `P(X=r)= (""^(n)C_(r)).p^(r)q^(n-r)`, जंहा r=0,1,2,........,n
`P(X=r) = (""^(5)C_(r)). (1/4)^(r) (3/4)^(5-r)`
(द्विपद बंटन के प्रयोग से)
(i) P(सभी 5 पत्ते हुकुम के हों) `=P(X=5)`
`=(""^(5)C_(5))p^(5)q^(0)=1.p^(5)=(1/4)^(5) =1.1/(1024)=1/1024`
(ii) P(केवल 3 पत्ते हुकुम के हों) =P(X=3)
`=(""^(5)C_(3)p^(3)q^(2)) = (5.4.3)/(3!)(1/4)^(3).(3/4)^(2)`
=`(60)/(1 xx 2 xx 3) xx 3^(2)/4^(5) = 90/1024 = 45/512`
(iii) P(एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हों)
`P(X=0)=""^(5)C_(0)p^(0)q^(5). 1.q^(5) = (3/4)^(5) = 243/1024`