यदि बिंदु `(m^(2),m^(3))` पर वक्र `y^(2) =x^(3)` की स्पर्श रेखा का समीकरण,बिंदु (`M^(2),M^(3))` पर वक्र के अभिलम्ब का समीकरण भी हो, तब `mM` का मान क्या होगा?

Options

A. ` - 4//9`
B. ` 4//9`
C. ` 2//9`
D. ` 3//5`

Answer

A

Explanation

वक्र का समीकरण ` y^(2) =x^(3)`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
` " " 2y (dy)/(dx) =3x^(2) rArr (dy)/(dx) =(3x^(2))/(2y)`
अब, बिंदु ` (m^(2),m^(3) ) ` पर,` (dy)/(dx) =(3m^(4))/(2m^(3)) =(3m)/(2) `
तथा बिंदु `(M^(2),M^(3))` पर ` (dy)/(dx) =(3M^(4) )/(2M^(3) )=(3M)/(2)`
बिंदु `(m^(3),m^(3))` पर वक्र (i ) की स्पर्श रेखा का समीकरण
` " " (y-m ^(3) )=(3m)/(2) (c-m^(2)) rArr 3mx -2y =m^(3" " ...(ii)`
बिंदु `(M^(2),M^(3))` पर वक्र (i ) के अभिलम्ब का समीकरण,
` " " (y-m^(3) )=(-1)/((3M//2))(x-M^(2))`
` rArr " " 2x+3My =3m^(4) +2M^(2) " " ...(iii)`
` because ` सभी (ii ) तथा (iii ) समान है|
` therefore " " (3m)/(2) =(-2)/(3M) =m^(3)/(3M^(4)+2M^(2))`
प्रथम दो भागों को लेने पर, ` (3m)/(2)=-(2)/(3M)`
` rArr " " mM =(-4)/(9)`