अंतराल `(0,2pi)` का वह बिंदु कौन-सा है,जहाँ `f(x)=e^(x)sin x` की अधिकतम प्रवणता है?

Options

A. `(pi)/(4)`
B. ` (pi)/(2)`
C. ` pi`
D. ` (3pi )/(2)`

Answer

B

Explanation

दिया है, `f(x) =e^(x) sin x `

` M=f'(x) =e^(x) cosx+e^(x)sin x `

`rArr M =e^(x) (sin x+cosx)`

`" "" "....(1)`

अब,` (dM)/(dx) =e^(x) (sin x +cos x) `

`" " + e^(x) (cos x-sin x)`

`" " =2e^(x)cos x`

अब,प्रवणता `(M )` के अधिकतम तथा न्यूनतम मान के लिए `(dM)/(dx)=0`

`rArr 2e^(x)cos x=0`

`rArr e^(x)=0` या `cosx0`

`rArre^(x)=e^(-infty) ` या ` cos x =cos ""(pi)/(2)`

` rArr x ne -infty `

या ` " " x=(pi)/(2),(3pi)/(2),x in (0,2pi )` में

अब,

` (d^(2)M)/(dx^(2))=2e^(x) cosx-2e^(x)sin x `

` x=(pi)/(2) ` पर

`(d^(2)M)/(dx^(2))=2e^(pi//2)(cos""(pi)/(2)-sin ""(pi)/(2))`

` =2e^(pi//2)(0-1)`

` =-2e^(pi//2)lt0` [अधिकतम]

तथा `" " x=(3pi)/(2)` पर,

`(d^(2)M)/(dx^(2)) =2e^(3pi//2)(cos""(3pi)/(2)-sin ""(3pi)/(2))`

` " " ` [निम्नतम]

इस प्रकार,`x=(pi)/(2)` पर फलन

` f(x) =e^(x)sin x ` अधिकतम प्रवणता रखता है|