निम्नलिखित कथनो पर विचार कीजिए
I . फलन `f(x) =sin x ,` अंतराल `(0,pi //2)` पर ह्रासमान है|
II. फलन ` f(x) =cos x,` अंतराल `(0,pi //2)` पर वर्द्धमान है |
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं?

Options

A. केवल I
B. केवल II
C. I और II दोनों
D. न तो I और न ही II

Answer

d

Explanation

I दिया गया फलन `f(x)=sin x`
` f(x) ` अंतराल `(0,pi//2)` में वर्द्धमान है|
II.दिया गया फलन `f(x)=cosx`
` cosx` का ग्राफ f (x ) अंतराल `(0,pi//2)` में ह्रासमान है|
दिया गया फलन `f(x)=(x^(2)-x+1)/(x^(2)+x+1)`
` [[ (x^(2)+x+1)(d)/(dx) (x^(2)-x+1)-(x^(2)-x+1)(d)/(dx)(x^(2) +x+ 1)]]/(x^(2)+x+1)^(2)`
`rArr " " f'(x)=([(x^(2)+x+1)(2x-1)-(x^(2)-x+1)(2x+1)]) /((x^(2) + x+1)^(2))`
` rArr f'(x)=[(2x^(3)+2x^(2)+2x-x^(2)-x-1-2x^(3)+2x^(2) -2x-x^(2) +x-1)]/((x^ (2) +x+1)^(2))`
` rArr " "f'(x)=(2x^(2)-2) /((x^(2)+x+1))`
`rArr" "f'(x)=(2x^(2)-2) /((x^(2)+ x+1) ^(2))`
` f(x)` के अधिकतम या न्यूनतम मान के लिए `f'(x)=0` रखने पर,
` " " (2(x^(2)-1))/((x^(2)+x+1) ^ (2) ) =0`
` rArr " " x^(2)-1=0`
` therefore " " x=+- 1`
` (x^(2)+x+1)^(2)(4x)-(2x^(2)-2)`
`= (-(x^(2)-1)(2x+1)]/((x^(2)+x+1))`
` =(4)/((x^(2)+x+1))xx(x^(3)+x^(2)+x-2x^(3)+2x-x^(2)+1)`
` =(4xx(-x^(3)+3x+1))/((x^(2)+x+1)^(3))`
` x=1` पर,
` f''(1)=(4(-1+3+1))/ ((1+1+1) ^(3))`
` " " =(12)/(27)=(4)/(9)gt0" " ` [न्यूनतम]
अतः फलन `f(x),x=1` पर न्यूनतम है| ` x=-1` पर
`f'(-1)=(4(-1-3+1))/((1+1+1)^(3))`
` " "=(4xx(-3))/((1)^(3) )=-12 lt0" "` [ अधिकतम ]
अतः फलन का `f(x),x=-1` पर अधिकतम है|