निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए
`I.[0,infty )` पर `y= (e^(x)+e^(-x))/(2) ` एक वर्द्धमान फलन है
`II.` `(-infty ,infty )` पर `y=(e^(x)-e^(-x))/(2)` एक वर्द्धमान फलन है
उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं?

Options

A. केवल `I`
B. केवल `II`
C. `I` और `II` दोनों
D. न तो `I` और न ही `II`

Answer

C

Explanation

`I.f(x) =(e^(x)+e^(-x))/(2) `

` rArr f'(x) =(e^(x)-e^(-x))/(2)`

`" "=(1)/(2) (e^(x)-(1)/(e^(x)))`

` f'(x) =(1)/(2) ((e^(2x)-1)/e^(x)) ...(i)`

अब,`xge 0 ` के लिए `2xge 0`

` rArr e^(2x)ge e^(0)`

`" " [because e^(x) ` एक वर्द्धमान फलन है ]

` rArr e^(2x)ge 1`

` therefore x ge 0 ` के लिए ,`e^(x) ge 1`

सभी `(i )` से

`f'(x) =(1)/(2) ((e^(2x) -1)/e^ (x)) ge0`

अतः ` y = f(x) =(e^(2)+e^(-x))/(2)` दिए गए अंतराल में वर्द्धमान है


`II.``y=f(x) =(e^(x)-e^(-x))/(2)`

`f'(x) =(e^(x)+e^(-x))/(2)`

` [ because e^(x)` तथा `e^(-x)` दोनों ही ,``

`" "(-infty ,infty)` अंतराल में शून्य से ज्यादा है।]

अतः `y=f(x) =(e^(x)-e^(-x))/(2)`

अंतराल `(-infty,infty ) ` पर वर्द्धमान फलन है।

अतः दोनों कथन सत्य हैं।