`y' = t (1+y), y(0) = 0` का एकमात्र हल क्या है?

Options

A. `y=-1+e^((t^(2))/(2))`
B. `y=e^((t^(2))/(2))`
C. `y=e^(-(t^(2))/(2))`
D. `y=1+e^((t^(2))/(2))`

Answer

A

Explanation

दिया है, `y'=t(1+y)implies(dy)/(dt)=t+tyimplies(dy)/(dt)-ty=1`
`(dy)/(dt)+Py=Q` से तुलना करने पर, P = - t तथा Q = t
`IF=e^(intPdt)=e^(int-tdt)=e^(-t^(2//2))`
`therefore (IF)y=intQ.(IF)dt=C`
`implies e^(-t^(2)//2).y=intt.e^(-t^(2)//2)dt+C`
माना `z = t^(2)//2`
तब, dz = t dt
`implies e^(-t^(2)//2)y=inte^(-z)dz+Cimpliese^(-t^(2)//2).y=-e^(-z)+C=-e^(-t^(2)//2)+C`
दिया है, t = 0 पर, y = 0
`therefore 0=-1+CimpliesC=1impliese^(-t^(2)//2).y=-e^(-t^(2)//2)+1`
`therefore y=-1+e^(t^(2)//2)`