y(0)=0 सन्तुष्ट करते हुए `(dy)/(dx)+2y=1` का हल क्या है?

Options

A. `y=(1-e^(-2x))/(2)`
B. `y=(1+e^(-2x))/(2)`
C. `y=1+e^(x)`
D. `y=(1-e^(x))/(2)`

Answer

A

Explanation

दी गई अवकल समीकरण निम्न है
`(dy)/(dx)+2y=1`
अब, `(dy)/(dx)+Py=Q` के साथ तुलना करने पर,
P = 2 तथा Q = 1
अब, समाकलन गुणांक `(IF)=e^(intPdx)=e^(int2dx)=e^(2x)`
तब, पूर्ण हल निम्न है
`y.IF=intQ(IF)dx+C=int1.e^(2x)dx+C`
`impliesy.e^(2x)=(1)/(2)e^(2x)+C`
`impliesy=(1)/(2)+C.e^(-2x)" ...(i)"`
x = 0 पर, y = 0
समी (i) से, `0=(1)/(2)+C.e^(0)`
`implies(1)/(2)+C=0impliesC=-(1)/(2)`
अतः अभीष्ट हल निम्न है
`y=(1)/(2)-(1)/(2).e^(-2x)impliesy=(1-e^(-2x))/(2)`