दो आवेशित चालकों की धारिताए क्रमश : `C_(1)` और `C_(2)` है | उन्हें `Q_(1)` और `Q_(2)` आवेश देने पर उनके विभव क्रमश : `V_(1)` और `V_(2)` हो जाते है | यदि उन्हें तार से जोड़े दिया , तो निम्नलिखित की गणन कीजिए - (i) उभयनिष्ठ विभव (ii) सयोजन में ऊर्जा हास |

Explanation

उभयनिष्ठ विभव- मानलो A और B दो विलगित चालक हैं, जिनकी धारिताएँ क्रमशः `C_(1)` or `C_(2)` है | इन चालकों को क्रमश : `Q_(1)` और `Q_(2)` आवेश देने r उनके विभव क्रमश : ` V_(1)` और `V_(2)` हो जाते है
अत: कुल आवेश
`Q = Q_(1) + Q_(2)`
परन्तु `Q_(1) = C_(1)V_(1)` तथा `C_(2) V_(2)`
`Q = C_(1) +C_(2)`
दोनों चालकों की कुल धारिता
`C = C_(1) +C_(2)`
मानलो दोनों चालकों को तार द्वारा जोड़ने पर उनका उभयनिष्ठ विभव V हो जाता है |
अतः सूत्र Q = CV से
`Q_(1) + Q_(2) = (C_(1) + C_(2))V`
या ` V = (Q_(1) + Q_(2))/(C_(1) + C_(2))`
या ` V = (C_(1)V_(1) + C_(2)V_(2))/(C_(1)+C_(2))`
यही उभयनिष्ठ विभव के लिए विजका है |
(ii) सयोजन में ऊर्जा हास - दोनों चालकों को जोड़ने से पलहे A और B की कुल ऊर्जा
` U_(1) = (1)/(2) C_(1)V_(1)^(2) + (1)/(2)C_(2)V_(2)^(2)`
दोनों चालकों को जोड्ने के बाद A और B की कुल ऊर्जा
`U_(2) = (1)/(2)C_(1)V^(2) +(1)/(2)C_(2)V^(2)`
` = (1)/(2)(C_(1)+C_(1))V^(2)`
` = (1)/(2)(C_(1)+C_(2))((C_(1)V_(1)+C_(2)V_(2))/(C_(1)+C_(2)))`
` = (1)/(2) .(((C_(1)V_(1)+C_(2)V_(2)))/(C_(1)+C_(2))`
`therefore " "U_(1) = U_(2) = ((1)/(2)C_(1)V_(1)^(2) + (1)/(2)C_(1)V_(2)^(2) ) = (1)/(2).((C_(1)V_(1)+C_(2)C_(2))^(2))/(C_(1)+C_(2))`
` = (1)/(2)[((C_(1)C_(1)^(2)+C_(2)V_(2)^(2))(C_(1)+C_(2))-(C_(1)V_(1)+C_(2)V_(2))^(2))/(C_(1)+C_(2))]`
` = (1)/(2) [ (C_(1)C_(2)V_(1)^(2) + C_(1)C_(2)V_(2)^(2) - 2C_(1)C_(2)V_(1)V_(2))/(C_(1)+C_(2))]`
` = (1)/(2). (C_(1)C_(2))/(C_(1)+C_(2))[V_(1)^(2) + V_(2)^(2) - 2V_(1)V_(2)] = (C_(1)C_(2))/(2(C_(1)+C_(2))) (V_(1)-V_(2))^(2)`
चुकी `(V_(1) - V_(2))^(2)` धनात्मक है | अतः `U_(1) - U_(2)` भी धनात्मक होगा | अतः आवेश के पुनर्वितरण में सैदव ऊर्जा का हास होगा है |
इस प्रकार , ऊर्जा हास `= (C_(1)C_(2))/(2(C_(1)+C_(2))) (V_(1) - V_(2))^(2)`