दर्पण समीकरण `1/f=1/u+1/v` को सिद्ध कीजिए ।

Explanation

माना MPN एक उत्तल दर्पण है , P इसका ध्रुव तथा F फोकस , C वक्रता केंद्र एवं PC मुख्य अक्ष है ।
Q से मुख्य अक्ष पर QR लम्ब डाला , तब PB=-u
PB'=v
PF=f
`DeltaA'B'F` व `DeltaQRF` समरूप है ।
`therefore (A'B')/(QR)=(B'F')/(RF)`
किन्तु QR=AB
`therefore (A'B')/(AB)=(B'F)/(RF)` ...(1)
इसी प्रकार `DeltaA'B'C` व `DeltaABC` समरूप है ।
`therefore (A'B')/(AB)=(B'C)/(BC)` ...(2)
समी (1) व (2) से ,
`(B'F)/(RF)=(B'C)/(BC)` ...(3)
यदि दर्पण का द्वारक छोटा है , तो RF = PF (लगभग)
समी (3 ) मान रखने पर ,
`(B'F)/(PF)=(B'C)/(BC)` या `(PF-PB')/(PF)=(PC-PB')/(PB+PC)`
या `((f-v))/f=(2f-v)/(-u+2f)`
या (f-v)(-u+2f)=f(2f-v)
या `-uf+2f^2+uv-2vf=2f^2-fv`
या uv=-vf+uf+2vf या uv=vf+uf
दोनों पक्षो में uvf से भाग देने पर ,
`1/f=1/u+1/v` यही दर्पण समीकरण है