निम्नलिखित बिन्दुओ द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है, तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए ।
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

Explanation

(i) माना बिंदु A(-1, -2), B(1, 0), C(-1, 2) और D(-3, 0) हैं ।
`therefore AB = sqrt((1+1)^(2) +(0 + 2)^(2))`
`= sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2 sqrt(2)` मात्रक
`BC = sqrt((-1-1)^(2) +(2-0)^(2))`
`= sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2 sqrt(2)` मात्रक
`CD = sqrt((-3+1)^(2) +(0 - 2)^(2))`
`= sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2 sqrt(2)` मात्रक
`DA = sqrt((-1+3)^(2) +(-2-0)^(2))`
`= sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2 sqrt(2)` मात्रक
`AC = sqrt((-1+1)^(2) +(2 + 2)^(2))`
`= sqrt(0 + 16) = sqrt(16) = 4` मात्रक
तथा `BD = sqrt((-3-1)^(2) +(0-0)^(2))`
`= sqrt(16+ 0) = sqrt(16) = 4` मात्रक
`because AB = BC = CD = DA` तथा `AC = BD`
`therefore ABCD` एक वर्ग है ।
अत: दिए बिंदु एक वर्ग के शीर्ष हैं ।
(ii) माना बिंदु A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3) और D(-1, -4) हैं । ltbr`therefore AB = sqrt((3+3)^(2)+(1-5)^(2))`
`=sqrt(36+16) = sqrt(52) = 2sqrt(13)` मात्रक
`BC = sqrt((0-3)^(2)+(3-1)^(2))`
`=sqrt(9+4) = sqrt(13)` मात्रक
`AC = sqrt((0+3)^(2)+(3-5)^(2))`
`=sqrt(9+4) = sqrt(13)` मात्रक
अब `BC + AC = sqrt(13) + sqrt(13)`
`=2 sqrt(13) = AB`
`rArr A, B` और C संरेख हैं ।
अत: दिए बिन्दुओ से कोई चतुर्भुज नहीं बनेगा ।
(iii) माना बिंदु A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3) और D(1, 2) है ।
`therefore AB = sqrt((7-4)^(2) + (6-5)^(2))`
`= sqrt(9+1) = sqrt(10)` मात्रक
`BC = sqrt((4-7)^(2)+(3-6)^(2))`
`= sqrt(9+9) = sqrt(18) = 3 sqrt(2)` मात्रक
`CD = sqrt((1-4)^(2)+(2-3)^(2))`
`= sqrt(9+1) = sqrt(10)` मात्रक
`DA = sqrt((4-1)^(2)+(5-2)^(2))`
`=sqrt(9+9) = sqrt(18) = 3 sqrt(2)` मात्रक
`AC = sqrt((4-4)^(2)+(3-5)^(2))`
`=sqrt(0+4) = sqrt(4) = 2` मात्रक
तथा `BD = sqrt((1-7)^(2) + (2-6)^(2))`
`=sqrt(36+16) = sqrt(52) = 2 sqrt(13)` मात्रक
`because` AB = CD, AD = BC तथा `AC ne BD`
t`therefore ABCD` एक समांतर चतुर्भुज है ।
अत: दिए गए बिंदु एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष है ।