20 सेमी ऊंचाई और शीर्ष कोण (vertical angle ) `60^(@)` वाले एक शंकु को उसकी ऊंचाई के बीचों - बीच से होकर जाते हुए एक ताल से दो भागों में काटा गया है , जबकि ताल शंकु के आधार के समांतर है । यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास `(1)/(16)` सेमी वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।

Explanation

चित्र में किसी शंकु के आधार का व्यास A'OA है तथा शीर्ष V है । शंकु का शीर्ष कोण `A'VA=60^@` है , तब शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण `alpha=30^@`
शंकु की ऊंचाई सेमी `=20` है ।
तब , समकोण `DeltaOAV` में ,
`tan alpha = (OA)/(OV)rArrn tan 30^(@)= (r_1)/(20)rArr (1)/(sqrt(3))= (r_1)/(20)`
` = r_1 =(20)/(sqrt(3))` सेमी
`because Delta VOB` तथा `Delta VOA` समरूप है ,
` therefore (VO)/(VO)=(O'B)/(OA)rArr (10)/(20)= (r_2)/(r_1)= (r_2)/(r_1)=(1)/(2)`

`rArr r_1=2r_2rArr r_2 = (1)/(2)r _1= (1)/(2)xx(20)/(sqrt(3))= (10)/(sqrt(3))` सेमी ।
और छिन्नक की ऊंचाई `h=(1)/(2)xx` शंकु की ऊंचाई `=10` सेमी
तब छिन्नक का आयतन `=(1)/(3)pi r (r_(1)^(2)+r_(1)r_(1)+r_(2)^(2))= (1)/(3) pi (10)[((20)/(sqrt(3)))^2+(20)/(sqrt(3))xx(10)/(sqrt(3))+((10)/(sqrt(3)))^2]`
`= (1)/(3)pi 10[(400)/(3)+(200)/(3)+(100)/(3)]`
`=(7000)/(9)pi ` घन सेमी
बेलनाकार तार का व्यास `=(1)/(16)` सेमी
`rArr ` तार की त्रिज्या `r =- (1)/(32)` सेमी
माना खींचे जाने वाले तार की लम्बाई l सेमी है ।
तब , तार का आयतन `= pi r^2l`
`=pi xx (1)/(32)xx(1)/(32)xxl=(pi )/(1024)l` घन सेमी
`because ` तार , शंकु के छिन्नक से खींचा जाता है ।
`therefore` तार का आयतन = छिन्नक आयतन
`rArr (pi)/(1024)l=(7000)/(9) pi`
`rArr l=(7000 pi )/(9)xx(1024)/(pi)` सेमी
`=(70)/(9)xx1024)` मीटर
`=(71680)/(9)` मीटर
`=7964.44` मीटर
अतः तार की लम्बाई `=7964.44` मीटर ।