`DeltaABC" और "DeltaDBC` एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार है कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित है (देखिए आकृति)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि :
(i) `DeltaABD~=DeltaACD`
(ii) `DeltaABP~=DeltaACP`
(iii) AP, कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।

Explanation

`DeltaABC" और "DeltaDBC` दो समद्विबाहु त्रिभुज समान आधार BC पर इस प्रकार है कि AB=AC और DB=DC.
दर्शाना है :
(i) `DeltaABD~=DeltaACD`
(ii) `DeltaABP~=DeltaACP`
`AP,angleA" और "angleD` दोनों से समद्विभाजित करता है।
(iv) AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है।
उपपत्ति : (i) `DeltaABD" और "DeltaACD` में,
`AB=AC" "` (दिया है )
`BD=CD" "` (दिया है )
और `AD=AD" "` (उभयनिष्ठ)
`:.DeltaABD~=DeltaACD" "(S.S.S.)`
(ii) `DeltaABP" और "DeltaACP` में,
`AB=AC" "` (दिया है)
`angle1=angle2" ("":'DeltaABD~=ACD)`
और `AP=AP" "` (उभयनिष्ठ )
`:.DeltaABP~=DeltaACP" "(S.S.S.)`
(iii) `angle1=angle2" "("":'DeltaABD~=DeltaACD)`
`impliesAP,angleA` का समद्विभाजक है।
`angleADB=angleADC" "("":'DeltaABD~=DeltaACD)`
`implies180^(@)-angleADB=180^(@)-angleADC`
`impliesangleBDP=angleCDP" "` (रैखिक युग्म अभिगृहीत से)
`impliesAP, angleD` का समद्विभाजक है।
(iv) `BP=CP" "("":'DeltaABP~=DeltaACP)`
और `angle3=angle4" "......(1)`
परन्तु, `angle3+angle4-180^(@)" "` (रैखिक युग्म अभिगृहीत से )
`:.angle3+angle3=180^(@)impliesangle3=90^(@)`
[समीकरण (1) से ]
`impliesangle3=angle4=90^(@)`
अतः AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है।