बतलाइए की निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है अथवा असत्य है । यदि कथन असत्य है, तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए।
(i) यदि P = (m, n) और Q = (n, m), तो `P xx Q = {(m, n), (n, m)}`
(ii) यदि A और B अरिक्त समुच्चय है, तो `A xx B` क्रमित युग्मों (x, y) का एक अरिक्त समुच्चय है, इस प्रकार की `x in A` तथा `y in B`
(iii) यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो `A xx (B nn phi) = phi`

Explanation

(i) `because P = {m, n}` और `Q = {n, m}`
`therefore n(P) = 2` तथा n(Q) = 2
`therefore (P xx Q) = 2 xx 2 = 4` अर्थात `(P xx Q)` में 4 क्रमित हैं जबकि प्रश्न में दिया गया है की `(P xx Q)` में 4 क्रमित हैं जबकि प्रश्न में दिया गया है की `(P xx Q)` = {(m, n), (n, m)} अर्थात `P xx Q` में दो क्रमित युग्म हैं ।
अतः दिया गया कथन असत्य हैं ।
अब `P xx Q` = {(m, n), (m, m) (n, n), (n, m)}
(ii) यदि A तथा B दो अरिक्त समुच्चय हों तो कार्तीय गुणन की परिभाषा से, `A xx B = {(x, y) : x in A, y in B}`
अतः दिया गया कथन `"A xx B` क्रमित युग्मों (x, y) का एक अरिक्त समुच्चय है, इस प्रकार की `x in B` तथा `y in A"` असत्य है ।
सत्य कथन है :`A xx B` क्रमित युग्मों (x, y) का एक अरिक्त समुच्चय है, एक प्रकार की `x in A` तथा `y in B`
(iii) A = {1, 2}, B = {3, 4}
सिद्ध करना है : `A xx (B nn phi) = phi`
`therefore B nn phi` = समुच्चय B एवं रिक्त समुच्चय `phi` के सर्वनिष्ठ अवयवों का समुच्चय = `phi`
`therefore A xx (B nn phi) = A xx phi = phi`
अतः दिया गया कथन सत्य है ।