'PERMUTATIONS'शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है , यदि
(i) चयनित शब्द का प्रारम्भ P से तथा अंत S से होता है ?
(ii)चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ है ?
(iii) चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हो ?

Explanation

(i) P से आरम्भ व S पर समाप्त होने वाले शब्दों में 10 अक्षरों में 2 T होंगे ।
ऐसे कुल शब्दों की संख्या ` = (10!)/(2!) = 1814400`
(ii) यदि सभी स्वर A, E, I, O, U साथ - साथ हों , तो इन्हे एक अक्षर मानकर 8 अक्षरों जिनमें 2 T हों , को व्यवस्थित करने के ढंग
` = (8!)/(2!) = (40320)/2 = 20160`
पुनः 5 स्वरों को साथ - साथ रखने के ढंग ` = .^(5)P_(5) = 5! = 120`
अतः कुल शब्द जिनमें स्वर साथ - साथ हों = `20160 xx 120`
` = 2419200`
(iii) PERMUTATIONS शब्द के 12 अक्षरों को 12 स्थानों पर निम्न प्रकार भर सकते है

यदि P व S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों, तो P को 1, 2, 3, 4, 5, 6 या 7 स्थान पर रख सकते है । इसके परिणाम स्वरूप S को 6, 7, 8, 9, 10, 11 या 12वें स्थान पर रख सकते है ।
अतः P को रखने के ढंग = 7
S को रखने के ढंग = 7
कुल ढंग= 7 + 7 = 14
शेष 10 स्थानों को शेष 10 अक्षरों , जिनमें 2 T है , से भरने के ढंग = `(10!)/(2!) = (3628800)/2 = 1814400`
अतः अभीष्ट शब्दों की संख्या = ` 1814400 xx 14`
= ` 25401600`