किसी परीक्षा के एक प्रश्न - पत्र में 12 प्रश्न है जो क्रमश : 5 तथा 7 प्रश्नो वाले दो खंडों में विभक्त है अर्थात खंड I और खंड II । एक विद्यार्थी को प्रत्येक खंड से न्यूनतम 3 प्रश्नो का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नो को हल करना है । एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नो का चयन कर सकता है ?

Explanation

प्रश्न -पत्र I व II दो खंडो में विभक्त है जिनमें क्रमश : 5 व 7 प्रश्न है ।
एक विद्यार्थी को कुल आठ प्रश्नो का चयन करना है जबकि प्रत्येक खंड से न्यूनतम 3 प्रश्नो का चयन आवश्यक है । तब चयन निम्नलिखित विधियों से किया जा सकता है :
(i) खंड I से 3 प्रश्न व खंड II से 5प्रश्न
(ii) खंड I से 4प्रश्न व खंड II से 4 प्रश्न
(iii) खंड I से 5प्रश्न व खंड II से 3प्रश्न
पहले प्रकार से विद्यार्थी को 5 में से 3 प्रश्न खंड I से और 7 में से 5 प्रश्न खंड II से चुनने है ।
जिनकी कुल सम्भव विधियाँ ` = .^(5)C_(3) xx .^(7)C_(5)`
` = (lfloor5)/(lfloor3*lfloor5-3)xx (lfloor7)/(lfloor5*lfloor7-5)`
` = (lfloor5)/(lfloor3*lfloor2) xx (lfloor7)/(lfloor5lfloor2) = (lfloor7)/(lfloor3*lfloor2*lfloor2)`
` = (7xx6xx5xx4xxlfloor3)/(2 xx 1 xx 2 xx 1 xx lfloor3) = 210`
दूसरी विधि में विद्यार्थी दोनों में से प्रत्येक खंड से चार - चार प्रश्न चुनेगा जिनकी कुल विधियाँ
`= .^(5)C_(4) xx .^(7)C_(4)`
` = (lfloor5)/(lfloor4 * lfloor5-4) xx (lfloor7)/(lfloor4* lfloor7-4) = (lfloor5)/(lfloor4lfloor1) xx (lfloor7)/(lfloor4lfloor3)`
` = (5 xx lfloor4)/(1 xx lfloor4) xx (7 xx 6 xx 5 xx lfloor4)/(3 xx 2 xx 1 xx lfloor4) = 5 xx 35 = 175`
तीसरी विधि से विद्यार्थी खंड I के पाँचों प्रश्नो व खंड II के 3 प्रश्नो को चुन सकता है जिनके चयन के तरिके
` = .^(5)C_(5) xx .^(7)C_(3)`
` = 1 xx (lfloor7)/(lfloor3 * lfloor7 - 3) = (lfloor7)/(lfloor3 * lfloor4)`
` = 1 xx (7xx 6 xx5xx lfloor4)/(3 xx 2 xx 1 xx lfloor4) = 35`
` :. ` 8 प्रश्नो के चयन की कुल विधियाँ ` = 210 + 175 + 35 = 420`
अतः विद्यार्थी 420 प्रकार से प्रश्नो का चयन कर सकता है ।