बिन्दुओ `A(3,-2,1)` और `B(1,4,-3)` को मिलाने वाली रेखा को तल `2x-3y+z=8` किस अनुपात में विभाजित करता है रेखा और तल के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिया है,

`A(3,-2,1)` और `B(1,4,-3)` रेखाखण्ड `AB` के अंत बिन्दु है,

तथा रेखाखण्ड `AB`, तल `2x-3y+z=8` से होकर जाता है।

माना, तल रेखाखण्ड `AB` को `R(x,y,z)` बिन्दु पर काटता है तथा `R` रेखाखण्ड `AB` को `lambda:1` के अनुपात में विभाजित करता है।

`therefore` विभाजन सूत्र से

`x=(lambda+3)/(lambda+1)`

`y=(4y -2)/(lambda+1)`

`z=(-3lambda+1)/(lambda+1)`

अब चूंकि बिन्दु `R(x,y,z)` तल `2x-3y+z=8` पर स्थित है, अतः `x, y` व `z` के मान तल मे रखने पर

`2xx(lambda+3)/(lambda+1)``-3xx(4y -2)/(lambda+1)``+(-3lambda+1)/(lambda+1)``=8`

`=>`` 2 lambda+6``-12 lambda+6``-3lambda+1``=8lambda+8`

`=>` `21 lambda=5`

`=> lambda=5/21`

अतः `R` के निर्देशांक

`x=(5/21+3)/(5/21+1)``=34/13`

`y=(20/21-2)/(5/21+1)``=-11/13`

`z=(-15/21+1)/(5/21+1)``=3/13`

`R(34/13,-11/13,3/13)`