जड़त्व आघूर्ण की समांतर अक्ष प्रमेय लिखिए एवं सिद्ध कीजिए।

Explanation

प्रमेय - किसी अक्ष के परितः किसी पिण्ड का जड़त्व आघूर्ण (I ) उस पिण्ड के द्रव्यमान केंन्द्र में से गुजरने वाले समांतर अक्ष के परितः जड़त्व `(I_(c))`, पिण्ड के द्रव्यमान M तथा दोनों अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग `a^(2)` के गुणनफल के योग के बराबर होता है। अर्थात
`I=I_(c)+Ma^(2)`
उपपत्ति - माना की M द्रव्यमान के पिण्ड के द्रव्यमान केंन्द्र C में से गुजरने वाला अक्ष AB है। इसके समान्तर कोई अन्य अक्ष XY है, जिसके परितः पिण्ड का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
माना की दोनों समान्तर अक्षों के बीच की दूरी a है तथा बिंदु P पर m द्रव्यमान का कोई कण है जिसकी AB अक्ष से दूरी x है। इस कण का XY अक्ष के परितः
जड़त्व आघूर्ण `=m(a+x)^(2)` एवं XY अक्ष के परितः सम्पूर्ण पोंड का जड़त्व आघूर्ण
`I=Sigma m(a+x)^(2)`
`therefore I=Sigma m(a^(2)+x^(2)+2ax)`
`therefore I=Sigma ma^(2)+Sigma mx^(2)+Sigmam.2ax`
`therefore I=Ma^(2)+I_(c)" "("यहाँ "Sigma m.2ax=0,Sigma m=M" और "Sigma mx^(2)=I_(c ))`
`therefore I=I_(c )+Ma^(2)" " `इति सिद्धम ।