सिद्ध कीजिए कि यदि `n_1 " व् " n_2 ` आवृति दो स्वरित्र एक साथ बजाये जाएँ, तो प्रति सेकण्ड विस्पंदों की संख्या, उनकी आवृत्तियों के अन्तर के बराबर होती है ।

Explanation

मानाकी `n_(1)` तथा `n_(2)` आवृति वाली तथा सामान आयाम (=a) की दो ध्वनि एक साथ माध्यम में एक ही दिशा में चल रही है (`n_(1)` तथा `n_(2)` में अन्तर बहुत कम है) माना की एक तरंग के कारण माध्यम के किसी कण का किसी क्षण t पर विस्थापन `y_(1)` तथा इसकी तरंग के कारण उसी कण का क्षण t पर विस्थापन `y_(2)` है। जब
`y_(1) a sin omega_(1)t= a sin 2 pi n_(1)t`
था `y_(2)= a sin omega_(2) t = a sin 2 pi n_(2)t`
अध्यारोपण के सिद्धांतानुसार
`y=y_(1)+y_(2)=a sin 2 pi_(1) t+ a sin 2 pi n_(2)t `
या `y= 2 cos [ 2 pi((n_(1)-n_(2))/(2))t] sin [2pi((n_(1)+n_(2))/(2))t]`
या `2 =2a cos[ pi (n_(1)-n_(2))t] sin (n_(1)+n_(2))t]`
माना `2 cos [ pi (n_(1)-n_(2))t]=A` तो
`y= A sin [ pi (n_(1)-n_(2))t]`
जहाँ A परिणामी तरंग का आयाम है। उपयुर्क्त समीकरण से स्पष्ट है की परिणामी तरंग का आयाम `A` समय t के साथ बदलता है। इससे निम्न निष्कर्ष निकाल सकते है-
(1) यदि `cos [ pi (n_(1)-n_(2)t]=+-1` हो अथार्त यदि `pi(n_(1)-n_(2))t=0, pi, 2 pi, ` हो, तो `t=0, (1)/((n_(1)-n_(2))), (2)/((n_(1)-n_(2))), (3)/((n_(1)-n_(2))).....` , हो, तो परिणामी तरंग का आयाम अधिकतम होगा अथार्त, `A_("max")=+-2a` अतः स्पष्ट है की दो क्रमिक अधिकतम तीव्रता के लिए समयान्तराल `t=(1)/((n_(1)-n_(2)))` होगा।
(2) यदि `cos[ pi (n_(1)-n_(2))t=]=+-` हो या `pi(n_(1)-n_(2))t=(pi)/(2),(3pi)/(2),(5pi)/(2)...` हो, तो `t=(1)/((n_(1)-n_(2))),(2)/((n_(1)-n_(2))),(3)/((n_(1)-n_(2)))` ,हो जब परिणामी तरंग का आयाम न्यूतम (अथार्त शून्य) होगा या `A_("min")=` अतः स्पष्ट है की दो क्रमिक न्यूनतम तीव्रता के लिए समयान्तराल `=(1)/(n_(1)-n_(2))` होगा।
अतः दो क्रमिक तीव्रतम ध्वनियों के बीच समयांतराल `=(1)/(n_(1)-n_(2))`
`:.1` सेकण्ड में अधिकतम ध्वनि तीव्रता की संख्या `=(n_(1)-n_(2))=` दोनों आवृतियो का अन्तर इसी प्रकार दो क्रमिक न्यूनतम ध्वनियों के बीच समयान्तराल =`(1)/(n_(1)-n_(2))`
`:.1` सेकण्ड में न्यूनतम ध्वनि तीव्रता की संख्या `=(n_(1)-n_(2))` दोनों आवृतियों का अन्तर अतः `1` सेकण्ड में `(n_(2)-n_(2))` बार धवनि की तीव्रता अधिकतम तथा `(n_(1)-n_(2))` बार धवनि की तीव्रता न्यूनतम होगी । इसलिए 1 सेकण्ड में उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या `=(n_(1)-n_(2))=` दोनों तरंगो की आवृतियों का अन्तर ।