जब कोई हाइड्रोजन परमाणु स्तर n से स्तर `(n-1)` पर वयुत्तेजित होता है तो उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति हेतु व्यंजक प्राप्त कीजिए। n के अधिक मान हेतु, दर्शाइए कि यह आवृत्ति, इलेक्ट्रॉन की कक्षा में परिक्रमण की क्लासिकी आवृत्ति के बराबर है।

Explanation

हाइड्रोजन परमाणु की `n^(th)` कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा
`E_(n)=(-2pi^(2)me^(4)K^(2))/(n^(2)h^(2))` व्यंजक से प्राप्त होती है।
जहाँ पर K एक स्थिरांक है, जिसका मान `(1)/(4piin_(0))` होता है।
हाइड्रोजन की `(n-1)^(th)` कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा भी होगी।
`E_(n-1)=(-2pi^(2)me^(4)K^(2))/((n-1)^(2)h^(2))`
`E=hupsilon=E_(n)-E_(n-1)`
`therefore upsilon=(E_(n)-E_(n-1))/(h)`
`upsilon=(1)/(h)[(-2pi^(2)me^(4)K^(2))/(n^(2)h^(2))+(2pi^(2)me^(4)K^(2))/((n-1)^(2)h^(2))]`
`upsilon=(2pi^(2)me^(4)K^(2))/(h^(3))[-(1)/(n^(2))+(1)/((n-1)^(2))]`
`=(2pi^(2)K^(2)me^(4))/(h^(3))[(n^(2)-(n-1)^(2))/(n^(2)(n-1)^(2))]`
`=(2pi^(2)K^(2)me^(4))/(h^(3))[(n^(2)-n^(2)+2n-1)/(n^(2)(n-1)^(2))]`
`=(2pi^(2)K^(2)me^(4))/(h^(3))[(2n-1)/(n^(2)(n-1)^(2))]`
n के विशाल मान के लिए `2n-1~=2n` और `n-1~=n` लेने पर
`=(2pi^(2)K^(2)me^(4))/(h^(3))xx(2n)/(n^(2)xxn^(2))`
`=(4pi^(2)K^(2)me^(4))/(n^(3)h^(3))" "....(1)`
इलेक्ट्रॉन की परिक्रमण की चिरसम्मत (क्लासिकी) आवृत्ति निम्न होती है-
`upsilon_(c)=(v)/(2pir)" "....(2)`
बोर के कोणीय संवेग के प्रतिबन्ध के अनुसार
`mvr=(nh)/(2pi)`
या `v=(nh)/(2pimr)" "....(3)`
समीकरण (3) का मान समीकरण (2) में रखने पर
`upsilon_(c)=(nh)/(4pi^(2)mr^(2))" "....(4)`
लेकिन इलेक्ट्रॉन की nवी कक्षा की त्रिज्या
`r=(n^(2)h^(2))/(4pi^(2)mKe^(2))`
समीकरण (4) में r का मान रखने पर
`therefore upsilon_(c)=(nh)/(4pi^(2)m((n^(2)h^(2))/(4pi^(2)mKe^(2)))^(2))`
`=(nh)/(4pi^(2)m)xx((4pi^(2)mKe^(2))/(n^(2)h^(2)))^(2)`
या `upsilon_(c)=(4pi^(2)mK^(2)e^(4))/(n^(3)h^(3))" "....(5)`
`therefore` समीकरण (1) व (5) से हम देखते है कि `upsilon=upsilon_(c)` अर्थात n के बृहद मान के लिए, `n^(th)` कक्षा में इलेक्ट्रॉन चक्रण की चिरसम्मत आवृत्ति उतनी ही है जितनी हाइड्रोजन परमाणु से `n^(th)` स्तर से `(n-1)^(th)` स्तर पर अनुत्तेजन के कारण उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति। इसे बोर का संगत सिद्धान्त कहते है।