यदि पृथ्वी के किसी व्यास के अनुदिश एक सुरंग बना दी जाए (पृथ्वी के आर - पार ) और उसमे एक एक वस्तु गिरा दिया जाये तो उसकी गति कैसी होगी ? क्या वस्तु पृथ्वी के दूसरी और निकल जाएगी ? उसका आवर्तकाल क्या होगा ?

Explanation

मानलो पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार है उसका केंद्र तथा O त्रिज्या R है। मानलो पृथ्वी के तल पर गुरुत्वीय त्वरण g है सुरंग बिंदु A से होकर जाने वाले व्यास के अनुदिश बनाई गयी है मानलो सुरंग में m द्रव्यमान की कोई वस्तु गिराए जाने पर किसी समय सुरंग में d गहराई पर बिंदु P पर स्थित होती है , यदि बिंदु पर P गुरुत्वीय त्वरण हो g' , तो -
`g' = g [ 1 - d/R ] = g [( R -d)/R] `
यदि पृथ्वी के केंद्र से वस्तु का विस्थापन हो , तो `R-d = y`
अतः ` g ' = g/R . y ` ....(1)
परंतु `g/R` का मान नियत रहता है।

` :. g ' prop (-y)`
ऋण चिन्ह इस बात का घोतक है की g' दिशा y के विपरीत है।
इस प्रकार सुरंग के भीतर किसी बिंदु पर वस्तु का त्वरण केंद्र से विस्थापन के अनुक्रमानुपाती होता है तथा इसकी दिशा विस्थापन के विपरीत है। अतः वस्तु की गति सरल आवर्त गति होगी।
किन्तु सरल आवर्त गति में त्वरण ` alpha = - omega^(2) y ` ...(2)
समीकरण (1) और (2) से
` omega^(2) = g/R ` या `omega = sqrt(g/R)`
या ` (2pi)/T = sqrt(g/R)`
या `T = 2pi sqrt(R/g)`
है आवर्तकाल का व्यंजक है।