x-अक्ष के अनुदिश गति करने के लिए स्वतन्त्र की स्थितिज ऊर्जा, सीमाओं ` - oo le x le + oo` के अंतर्गत, `U ( x) = k [ 1 -e^(-x^(2))]` द्वारा दी जाती है,जहाँ k उपयुक्त विमाओं वाला धन नियतांक है। तब
यदि दो द्रव्यमान `m_(1)` तथा `m_(2)` स्प्रिंग की सहायता से जुड़े हैं तथा क्षैतिज सतह पर गति करने के लिए स्वतन्त्र हैं, तो आवर्तकाल

`T = 2pi sqrt(( mu )/( k ))`
यहाँ, `mu = ` समानित( Reduced) द्रव्यमान `= ( m_(1) m_(2))/(m_(1) + m_(2))`

Options

A. मूल बिंदु से दूर के बिंदुओं पर कण अस्थायी संतुलन में हैं
B. x के किसी भी परिमित अशून्य मान के लिए, कण पर मूल बिंदु से दूर एक बल लगता है
C. यदि इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा `K//2` है , तो इसकी न्यूनतम गतिज ऊर्जा मूल बिंदु पर है
D. x=0 से अल्प विस्थापन के लिए गति सरल आवर्त है

Answer

A

Explanation

`U(x) = k ( 1-e^(-x^(2)))`
यह U का `x^(2)` के साथ एक आरोही चरघातांकी (exponential) रेखाचित्र प्रदर्शित करने वाला समीकरण है। मूल बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा U न्यूनतम गतिज ऊर्जा अधिकतम )तथा कण पर कार्य करने वाला बल शून्य है क्योंकि `F = - ( dU)/( dx) = - ( U -x` ग्राफ का ढाल ) =0

इस प्रकार मूल बिंदु एक स्थायी साम्यावस्था ( stable equilibrium ) की स्थिति है। अतः कण विस्थापन के सभी मानों के लिए x = 0 के परितः सरल आवर्त गति करेगा। अतः विकल्प (d) सही है।
( a), (b) , ( c ) विकल्पों के गलत होने के निम्न कारण हैं -
( a) साम्यावस्था में `F = - ( dU)/( dx) = 0 ` अर्थात U -x ग्राफ का ढाल x=0 तथा `x = +- oo ` पर शून्य होना चाहिए। अब इन सभी साम्यावस्थाओं में स्थायी साम्यावस्था की स्थिति वह है जहाँ `U, ( x =0 ) ` न्यूनतम हो। जहाँ U अधिकतम है वहां अस्थायी साम्यावस्था की स्थिति है। उदासीन संतुलन (neutral equilibrium ) की स्थिति वह है। जहाँ U नियत है ( यहां `x = +- oo` ) इसलिए विकल्प (a) सही नहीं है।
(b) x के किसी भी निश्चित अशून्य मान के लिए, बल मूल बिंदु की और कार्यरत होगा क्योंकि मूल बिंदु स्थायी साम्यावस्था की स्थिति में है। इस प्रकार विकल्प (b) गलत है।
( c ) मूल बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम है, अतः गतिज ऊर्जा अधिकतम होगी। इस प्रकार विकल्प (c ) भी सही नहीं है।