दो नक्षत्रों के केंद्रों के बीच की दूरी 10a है। इन नक्षत्रों के द्रव्यमान M तथा 16 M और त्रिज्याएँ क्रमश: a तथा 2a हैं। m द्रव्यमान का एक पिण्ड बड़े नक्षत्र के पृष्ठ से सीधा छोटे नक्षत्र की ओर दागा जाता है। इस पिण्ड की न्यूनतम प्रारम्भिक चाल, जिससे कि यह छोटे नक्षत्र के पृष्ठ तक पहुँच जाये, G, M तथा a के पदों में ज्ञात कीजिए।

Answer

`(3sqrt(5))/(2) sqrt((GM)/(a))`

Explanation

माना दो नक्षत्र (1) व (2) है जो चित्र में दर्शाए गए हैं।

माना `C_(1)` व `C_(2)` के बीच कोई बिंदु P है जहाँ गुरुत्वीय क्षेत्र शून्य है अर्थात P पर नक्षत्र (1) के कारण तीव्रता, नक्षत्र (2) के कारण तीव्रता के बराबर तथा विपरीत है।
अत: `(GM)/(r_(1)^(2))=(G(16M))/(r_(2)^(2))`
या `(r_(2))/(r_(1))=4` तथा `r_(1)+r_(2)=10a`
`therefore r_(2)=((4)/(4+1))(10a)=8a` तथा `r_(1)=2a`
अब, m द्रव्यमान का एक पिण्ड बड़े नक्षत्र से छोटे नक्षत्र की ओर प्रेक्षेपित किया जाता है। `C_(2)` तथा P के बीच यह पिण्ड नक्षत्र (2) की ओर आकर्षित होगा तथा `C_(1)` व P के बीच यह नक्षत्र (1) की ओर आकर्षित होगा। इस प्रकार पिण्ड केवल P तक पहुँचने के लिए प्रेक्षेपित की जानी चाहिए क्योंकि उसके पश्चात वह स्व्यं ही छोटे नक्षत्र की ओर आकर्षित हो जायेगा। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से

`(1)/(2)mv_("न्यूनतम")^(2)=P` पर पिण्ड की स्थितिज ऊर्जा – बड़े तारे की सतह पर स्थितिज ऊर्जा
`(1)/(2)mv_("न्यूनतम") =[-(GMm)/(r_(1))-(16GMm)/(r_(2))]-[-(GMm)/(10a-2a)-(16GMm)/(2a)]`
या `(1)/(2)mv_("न्यूनतम")^(2)=((45)/(8))(GMm)/(a) rArr v_("न्यूनतम")=(3sqrt(5))/(2)((sqrt(GM))/(a))`