घनत्व d की एक गेंद एक क्षैतिज ठोस तल पर गिराई जाती है। यह तल से प्रत्यास्थ रूप से टकराकर उछलती है तथा समय `t_(1)` में अपनी प्रारम्भिक स्थिति में पहुँचती है। अगली बार गेंद को उसी ऊंचाई से घनत्व `d_(L)` के द्रव के तल पर गिराया जाता है।
(a) यदि `dltd_(L)` तो गेंद को अपनी प्रारम्भिक ऊँचाई तक आने में लगे समय `t_(2)` का व्यंजक (`d, t_(1)` व `d_(L)` के पदों में) ज्ञात कीजिए।
(b) क्या गेंद की गति सर्ल आवर्त है?
(c ) यदि `d=d_(L)` तो द्रव के भीतर गेंद की चाल उसकी गहराई पर किस प्रकार निर्भर करती है? सभी घर्षणकारी तथा क्षयकारी बलों को नगण्य मान लीजिए। यह भी मान लीजिए कि द्रव कि गहराई वृहत्त है।

Answer

(a) `(t_(1)d_(L))/(d_(L)-d)` (b) नहीं (c ) अपरिवर्तित

Explanation

द्रव के तल के साथ प्रत्यास्थ संघट्ट में वेग की दिशा बदलकर विपरीत दिशा में हो जाएगी परन्तु इसका परिमाण समान रहेगा।
इस प्रकार, गिरने में लगा समय = उठने में लगा समय
इसलिए गिरने में लगा समय `=(t_(1))/(2)`
अतः द्रव से टकराने से पहले गेंद का वेग
`v=(g t_(1))/(2)" "...(i)`
द्रव के भीतर मंदन `("उत्प्लावन-भार")/("द्रव्यमान")`
`=(Vd_(L)g-Vdg)/(Vd)=((d_(L)-d)/(d))g" "...(ii)`
इस मंदन के कारण गेंद को विरामावस्था में आने में लगा समय
`t=(v)/(a)=(g t_(1))/(2a)`
या `t=(g t_(1))/(2((d_(L)-d)/(d))g)=(dt_(1))/(2(d_(L)-d))`
इतना ही समय गेंद को द्रव के तल तक वापस आने में लगेगा।
(a) माना गेंद को जहाँ से छोड़ा गया वहाँ तक वापस आने में उसे `t_(2)` समय लगता है।
`t_(2)=t_(1)+2t=t_(1)+(dt_(1))/(d_(L)-d)=t_(1)[1+(d)/(d_(L)-d)]`
या `t_(2)=(t_(1)d_(L))/(d_(L)-d)`
(b) गेंद की गति आवर्त होगी परन्तु सरल आवर्त नहीं होगी क्योकि वायु में गेंद का त्वरण g है जबकि द्रव के भीतर यह त्वरण `((d_(L)-d)/(d))g` है
जोकि विस्थापन के अनुक्रमानुपाती नहीं है अर्थात सरल आवर्त गति की आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है।
(c ) जब `d_(L)=d` द्रव के भीतर त्वरण या मंदन शून्य हो जाएगा (उत्प्लावन = भार)। इस प्रकार गेंद नियत वेग `v=(g t_(1))/(2)` से द्रव के भीतर गति करती रहेगी।