एक समांग ठोस बेलन जिसकी लम्बाई L तथा अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल A/5 है एक बर्तन में भरे दो द्र्वो में इस प्रकार डूबा है कि उसकी अक्ष ऊर्ध्वाधर रहती है तथा दो द्र्वो को मिलाने वाली रेखा के नीचे बेलन की लम्बाई L/4 रहती है। बेलन की L/4 लम्बाई जिस द्रव में डूबी है वह ऊपरी द्रव की अपेक्षा सघन है।

यदि बर्तन के ऊपरी भार में भरे द्रव पर कार्यरत वायुमंडलीय दाब `p_(0)` है, तो बेलन के पदार्थ का घनत्व D होगा

Answer

(i) `(5d)/(4)` (ii) `p=p_(0)+(dg(6H+L))/(4)`
(b) (i) `sqrt((3H-4h)(g)/(2))` (ii) `sqrt(h(3H-4h))` (iii) `h=(3H)/(8)` पर `(3)/(4)H`

Explanation

(a) (i) बेलन के ऊर्ध्व सन्तुलन के लिए
बेलन का भार = ऊपरी द्रव के कारण उत्प्लावन + निचले द्रव के कारण उत्प्लावन
`therefore ((A)/(5))(L)D.g=((A)/(5))((3L)/(4))(d)g+((A)/(5))((L)/(4))(2d)g`
या `D=((3)/(4))d+(1)/(4)(2d)`
या `D=(5)/(4)d`
(ii) बेलन के ऊर्ध्व सन्तुलन के लिए
`(p-p_(0))A=` दोनों द्र्वो का भार + बेलन का भार `" "...(i)`
`therefore p=p_(0)+("दोनों द्र्वो का भार + बेलन का भार")/(A)`
बेलन का भार = `((A)/(5))(L)(D)(g)=((A)/(5)Lg)((5)/(4)d)=(ALdg)/(4)`
ऊपरी द्रव का भार `((H)/(2)Adg)`
निचले द्रव का भार `=(H)/(2)A(2d)g=HAgd`
इसलिए दोनों द्र्वो का कुल भार `=(3)/(2)HAdg`
(b) (i) टंकी की तली पर कुल दाब,
`p=p_(0)+(((3)/(2))HAdg+(ALdg)/(4))/(A)`
या `p=p_(0)+(dg(6H+L))/(4)` [समी (i) से]
(b) (i) बरनौली प्रमेय द्वारा
`p_(0)+dg((H)/(2))+2dg((H)/(2)-h)=p_(0)+(1)/(2)(2d)v^(2)`
(v, 2 पर परवाह का वेग है)
`implies v=sqrt((3H-4h)(g)/(2))`

(ii) द्रव की तली तक पहुँचने में लगा समय,
`t=sqrt(2h//g)`
`therefore` द्रव द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी,
`x=vt=sqrt((3H-4h)(g)/(2)xxsqrt((2h)/(g)))`
या `x=sqrt(h(3H-4h))`
(iii) x के अधिकतम मान के लिए, `(dx)/(dh)=0`
या `(1)/(2sqrt(h(3H-4h)))(3H-8h)=0`
या `h=(3H)/(8)`
x का अधिकतम मान
`x_(m)=sqrt(((3H)/(8))[3H-4((3H)/(8))])=(3)/(4)H`