लकडी की एक छड़ जिसकी लम्बाई L, त्रिज्या R तथा घनत्व `rho` है, के एक सिरे पर m द्रव्यमान का धातु का टुकड़ा (नगण्य आयतन) लगा है। द्रव्यमान m का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए (दिए गए प्रांचलों के पदों में) जिससे कि छड़, घनत्व `sigma(gtrho)` के द्रव में साम्यावस्था में ऊर्ध्वाधर तैर सके।

Answer

`piR^(2)L(sqrt(rhosigma)-rho)` न्यूटन-सेकण्ड

Explanation

माना छड़ का द्रव्यमान M है तथा `M=piR^(2)rhoL`
द्रव्यमान m को निचले सिरे पर जोड़ना चाहिए। क्योकि ऐसा न होने पर B, G से नीचे होगा तथा C, G से ऊपर होगा। छड़ के बायीं ओर खिसकाने पर दो बराबर तथा विपरीत बलों F तथा `(M+m)g` के कारण उत्पन्न बलयुग्म का आघूर्ण वामावर्त होगा। इस प्रकार छड़ घूर्णीय साम्यावस्था में नहीं रह सकेगी।

l = छड़ के निमग्न भाग की लम्बाई
G = छड़ का द्रव्यमान केन्द्र
B = उत्प्लावन केन्द्र
C = छड़ का द्रव्यमान केन्द्र + द्रव्यमान (m)
`Y_(CM)` = छड़ के निचले सिरे से C की दूरी
चित्र (1) व (2) से, ऊर्ध्वीय सन्तुलन के लिए
`Mg+mg=F`
या `(piR^(2)L)rhog+mg=(piR^(2)l)sigmag`
`implies l={(piR^(2)Lrho+m)/(piR^(2)sigma)}" "...(i)`

छड़ के निचले सिरे से (छड़ + द्रव्यमान m) द्रव्यमान केन्द्र की स्थिति
`Y_(CM)=(ML//2)/(M+m)=((piR^(2)Lrho)L//2)/((piR^(2)Lrho)+m)" "...(ii)`
उत्प्लावन केन्द्र (B), निचले सिरे से `l//2` ऊँचाई पर है।
स्पष्ट है कि छड़ के घूर्णीय सन्तुलन के लिए B या तो C से ऊपर होना चाहिए या दोनों एक ही स्तर पर होने चाहिए, इस प्रकार `(l)/(2)geY_(CM)`
या `(piR^(2)Lrho+m)/(2piR^(2)sigma)ge((piR^(2)Lrho)(L)/(2))/((piR^(2)Lrho)+m)`
या `m+piR^(2)LrhogepiR^(2)Lsqrt(rhosigma)`
या `mgepiR^(2)L(sqrt(rhosigma)-rho)`
अर्थात m का न्यूनतम मान `piR^(2)L(sqrt(rhosigma)-rho)` होगा।