एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार पात्र में राखी एक आदर्श गैस का द्रव्यमान M के स्वतन्त्र रूप से गतिशील पिस्टन को आधार देती है | पिस्टन और बेलन के अनुप्रस्थ -परिच्छेद क्षेत्रफल एकसमान A है | जब पिस्टन साम्यावस्था में है, तब गैस का आयतन `V_(0)` है और इसका दाब `p_(0)` है | पिस्टन को इसी साम्यावस्था स्थिति से थोड़ा सा विस्थापित किया जाता है और फिर छोड़ दिया जाता है | यह मान लें कि निकाय अपने परिवेश से पूर्णतः रोधी है, तब पिस्टन किस आवृत्ति की सरल आवर्त गति करेगा ?

Options

A. `(1)/(2pi)(A_(gamma)p_(0))/(V_(0)M)`
B. `(1)/(2pi)(V_(0)Mp_(0))/(A^(2)gamma)`
C. `(1)/(2pi)sqrt((A^(2)gamma p_(0))/(MV_(0)))`
D. `(1)/(2pi)sqrt((MV_(0))/(A_(gamma)p_(0)))`

Answer

C

Explanation

पिस्टन पर आरोपित दाब,

`(Mg)/(A)=p_(0) Mg = p_(0)A " "` ....(i)
चूँकि निकाय, दाब से पूर्णतः पृथक है | अतः यह रुद्धोष्म प्रक्रम होगा |
`p_(0)V_(0)^(gamma)=pV^(gamma)`
`p_(0)Ax_(0)^(gamma)=pA(x_(0)-x)^(gamma)`
`P=(p_(0)x_(0)^(gamma))/((x_(0)-x)^(gamma))`
माना पिस्टन x दुरी विस्थापित होता है, तब
`Mg-((p_(0)x_(0)^(gamma))/((x_(0)-x)^(gamma)))A=F_("प्रत्यानयन")`
`p_(0)A(1-(x_(0)^(gamma))/((x_(0)-x)^(gamma)))=F_("प्रत्यानयन") " "` [जहाँ `x_(0)-x ~~ x_(0)`]
`F=-(gamma p_(0)Ax)/(x_(0))`
`therefore F = (1)/(2pi)sqrt((gamma p_(0)A)/(x_(0)M))=(1)/(2pi)sqrt((gamma p_(0)A^(2))/(MV_(0)))`