एकपरमाणुक आदर्श गैस एक क्षैतिज बर्तन (Horizontal cylinder) में स्प्रिंग युक्त पिस्टन द्वारा बन्द है (दर्शाए चित्रानुसार) | प्रारम्भ में गैस का तापमान `T_(1)` दाब `p_(1)` तथा आयतन `V_(1)` है तथा स्प्रिंग विश्रांत अवस्था में है | अब गैस को बहुत धीरे - धीरे तापमान `T_(2)` तक गर्म करने पर दाब `p_(2)` तथा आयतन `V_(2)` हो जाता है | इस प्रक्रिया में पिस्टन x दुरी तय करता है | पिस्टन एवं बर्तन के मध्य घर्षण को नगण्य मानते हुए, सही कथन है (हैं)

Options

A. यदि `V_(2)=2V_(1)` तथा `T_(2)=3T_(1)` है, तब स्प्रिंग में संचित ऊर्जा `(1)/(4)p_(1)V_(1)` है
B. यदि `V_(2)=2V_(1)` तथा `T_(2)=3T_(1)` है, तब आन्तरिक ऊर्जा में परिवर्तन `3p_(1)V_(1)` है |
C. यदि `V_(2)=3V_(1)` तथा `T_(2)=4T_(1)` है, तब गैस द्वारा किया गया कार्य `(7)/(3)p_(1)V_(1)` है
D. यदि `V_(2)=3V_(1)` तथा `T_(2)=4T_(1)` है, तब गैस को दी गई ऊष्मा `(17)/(6)p_(1)V_(1)` है |

Answer

A,B,C

Explanation

(a) `pV=nRT rArr p prop (T)/(V)`
तापमान को तीन गुना तथा आयतन को दो गुना करने पर
`rArr p_(2)=(3)/(2)p_(1)`
यद्यपि `x=(Delta V)/(A)=(V_(2)-V_(1))/(A)=(2V_(1)-V_(1))/(A)=(V_(1))/(A)`
`p_(2)=(3p_(1))/(2)=p_(1)+(kx)/(A)rArr kx = (p_(1)A)/(2)`
स्प्रिंग की ऊर्जा, `(1)/(2)kx^(2)=(p_(1)A)/(4)x=(p_(1)V_(1))/(4)`
(b) `Delta U = nc_(v)Delta T = n((3)/(2)R)Delta T`
`=(3)/(2)(p_(2)V_(2)-p_(1)V_(1))`
`= (3)/(2)[((3)/(2)p_(1))(2V_(1))-p_(1)V_(1)]=3p_(1)V_(1)`
(c ) `p_(2)=(4p_(1))/(3)rArr p_(2)=(4)/(3)p_(1)+(kx)/(A)`
`rArr kx=(p_(1)A)/(3)rArr x = (Delta V)/(A)=(2V_(1))/(A)`
`W_("गैस")=(p_(0)Delta V + W_("स्प्रिंग"))=(p_(1)Ax +(1)/(2)kx.x)`
`= (p_(1)A.(2V_(1))/(A)+(1)/(2).(p_(1)A)/(3).(2V_(1))/(A))`
`= 2p_(1)V_(1)+(p_(1)V_(1))/(3)=(7p_(1)V_(1))/(3)`
(d) `Delta Q = W + Delta U`
`=(7p_(1)V_(1))/(3)+(3)/(2)(p_(2)V_(2)-p_(1)V_(1))`
`= (7p_(1)V_(1))/(3)+(3)/(2)((4)/(3)p_(1).3V_(1)-p_(1)V_(1))`
`= (7p_(1)V_(1))/(3)+(9)/(2)p_(1)V_(1)=(41p_(1)V_(1))/(6)`
नोट `Delta U = (3)/(2) (p_(2)V_(2)-p_(1)V_(1))` भाग (b) में प्राप्त किया गया है |