काँच के पतले अवतालोत्तल लेंस (अपवर्तनांक 1.5 ) के उत्तल पृष्ठ की वक्रता त्रिज्या 20 सेमी है | अवतल पृष्ठ की वक्रता त्रिज्या 60 सेमी है | उत्तल पृष्ठ पर चाँदी की कलई की गई है तथा इसे क्षैतिज तल पर रखा जाता है |

(a) मुख्य अक्ष पर एक पिन कहाँ रखी जाए, जिससे कि उसका प्रतिबिम्ब उसी स्थान पर बन जाए ?
(b) यदि अवतल भाग को जल ( अपवर्तनांक 4/3 ) से भर दिया जाए, तो बताइये पिन को कितना खिसकाना होगा कि पिन का प्रतिबिम्ब फिर पिन पर बने ?

Answer

(a) 15 सेमी (b) 1.15 सेमी

Explanation

माना कि अवतल तथा उत्तल पृष्ठों के वक्रता - केंद्र क्रमशः `C_(1)" व "C_(2)` तथा वक्रता - त्रिज्यायें क्रमशः `R_(1)" व "R_(2)` हैं| पिन O तथा उसका प्रतिबिम्ब तब ही सम्पाती होंगें जब O से चलने वाली किरणें लेंस के अवतल पृष्ठ 1 पर अपवर्तित होकर कलई किये गए उत्तल पृष्ठ 2 पर अभिलंबवत गिरें | तब ये किरणें उसी मार्ग से वापिस लौटकर O पर ही प्रतिबिम्ब बनाएगी| चूँकि उत्तल पृष्ठ पर अभिलंबवत किरणें पीछे बढ़ाने पर उत्तल पृष्ठ के वक्रता केंद्र `C_(2)` पर मिलेगीं, अतः परावर्तन के लिए, `v=R_(2)` (उत्तल पृष्ठ की वक्रता त्रिज्या ) चूँकि यह अपवर्तन अवतल पृष्ठ 1 पर (जिसकी त्रिज्या `R_(1)` है) वायु से काँच में ही रहा है, अतः
`(mu_(2))/(v)-(mu_(1))/(u)=(mu_(2)-mu_(1))/(R_(1))`
यहाँ `mu_(2)=1.5, v=R_(2)=-20` सेमी, `R_(1)=-60` सेमी
`therefore" "(1.5)/(-20)-(1)/(-x)=(1.5-1)/(-60)`
या `" "x=15` सेमी
अतः पिन O को मुख्य अक्ष पर लेंस से 15 सेमी दूर रखेंगे |
(b ) अवतल पृष्ठ को जल से भरने पर दो अपवर्तन होंगे, पहला वायु से जल में तथा दूसरा जल से काँच में| माना अब पिन O' पर है जिसकी लेंस से दुरी है| पुनः पिन व उसके प्रतिबिम्ब में सम्पात के लिए O' से चलने वाली किरणे दोनों अपवर्तनों के पश्चात परावर्तक उत्तल पृष्ठ 2 पर अभिलंबवत गिरनी चाहिएँ|
पहला अपवर्तन समतल पृष्ठ पर `(R=oo)` वायु से जल में हो रहा है| माना इसके द्वारा बना प्रतिबिम्ब I' है जिसकी दुरी v' है| अपवर्तन के लिए
`(mu_(2))/(v')-(1)/(u')=(mu_(2)-1)/(R )=0" "[because R=oo]`
अथवा `" "(mu_(2))/(v')=(1)/(u')`
`therefore" "v'=(4//3)u'`
जहाँ `" "mu_(2)=4//3`
दूसरा अपवर्तन अवतल पृष्ठ पर (जिसकी त्रिज्या `R_(1)`) है, जल से काँच में हो रहा है| इसके लिए I' वस्तु है तथा `C_(2)` प्रतिबिम्ब है|
सूत्रानुसार,
`(mu_(2))/(v)-(1)/(v')=(n-1)/(R_(1))`
अब `" "mu_(2)=._(w)mu_(g)=(._(a)mu_(g))/(._(a)mu_(w))`
`=(3//2)/(4//3)=(9)/(8)`
`v=R_(2)=-20` सेमी
`v'=(4)/(3)u'` तथा `R_(1)=-60` सेमी|
`therefore" "(9//8)/(-20)-(1)/((4//3)u')=((9//8)-1)/(-60)`
हल कनरे पर `u'=-13.85` सेमी|
अब पिन लेंस से 13.85 सेमी दूर होगा |
`therefore` पिन का विस्थापन `=15-13.85=1.15` सेमी (लेंस की ओर)|