वायु में चलती हुई एक प्रकाश - किरण एक पारदर्शी माध्यम की लम्बी आयताकार पट्टिका पर जिसकी मोटाई `t = 1.0` मी है, पृष्ठसर्पी कोण ( आपतन कोण `= 90^(@)` ) पर आपतित है | आपतन बिंदु मूल बिंदु `A(0, 0)` है | माध्यम का चर अपवर्तनांक `n(y)` है |
`n(y)=[ky^(3//2)+1]^(1//2)`
जहाँ `k=1.0"(मी)"^(-3//2)` तथा वायु का अपवर्तनांक 1.0 है |

(a) माध्यम में बिंदु `B( x , y )` पर किरण - पथ की प्रवणता तथा उसी बिंदु पर आपतन कोण में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए |
(b) माध्यम में किरण - पथ की समीकरण `y (x)` प्राप्त कीजिए |
(c) बिंदु P के निर्देशांक `(x_(1), y_(1))` ज्ञात कीजिए जहाँ कि किरण पट्टिका वायु परिसीमा के ऊपरी तल को काटती है |
(d) बिंदु P के परे किरण - पथ दर्शाइए |

Answer

ढाल `=coti` (b) `4y^(1//4)=x` (c ) `(4, 1)`

Explanation

(a) अपवर्तनांक y का फलन है। यह Y-अक्ष के अनुदिश परिवर्ती है अर्थात दोनों माध्यमों को अलग करने वाली सीमा X-रेखा अक्ष के समान्तर है अर्थात किसी भी बिन्दु पर Y-अभिलम्ब अक्ष के समान्तर है।

अपवर्तनांक , y के साथ बढ़ती है। इसलिए प्रकाश की किरण विरल से सघन माध्यम में जा रही है अर्थात यह अभिलम्ब की ओर झुक जायेगी। प्रकाश का पथ चित्रानुसार होगा।

चित्र (a) के अनुसार, पथ के किसी बिन्दु B पर माना आपतन कोण (i) है।
`theta=90^(@)-i`
या `" "tan theta=tan(90^(@)-i)=coti`
या `" "ढाल=coti`
(b) `tan theta=(dy)/(dx)`
`therefore" "(dy)/(dx)=coti" ....(i)"`
A तथा B पर स्नैल के नियम से,
`n_(A)sini_(A)=n_(B) sin i_(B)`
`n_(A)=1" "because" "y=0`
`sini_(A)=1" "because i_(A)=90^(@)`
`therefore" "n_(B)=sqrt(ky^(3//2)+1)`
`=sqrt(y^(3//2)+1)" "[because k=1.0 ("मी")^(-3//2)]`

`therefore (1)(1)=sqrt((y^(3//2)+1))sin i" या "sini=(1)/(sqrt(y^(3//2)+1))`
`therefore" "coti=sqrt(y^(3//2))=y^(3//4)" ...(ii)"`
सेमी (i) व (ii) से
`(dy)/(dx)=y^(3//4)" या "y^(-3//4)dy=dx`
समाकलित करने पर पथ का समीकरण
`4y^(1//4)=x`
(c) बिन्दु P पर, `" "y=1.0` मी
`therefore" "x=4.0` मी
इसलिए P के निर्देशांक
`P-=(4, 1)`
(d) `n_(A) sini_(A)=n_(p)sini_(p)(n_(A)=n_(p)=1)`
`therefore" "i_(p)=i_(A)=90^(@)`
अर्थात निर्गत किरण P पर सीमा रकेः के समान्तर होगी।