`lamda =0.5` mm तरंगदैर्ध्य की सूक्ष्मतरंगो का एक कलासम्बद्ध समान्तर पुंज यंग के द्विस्लिट उपकरण पर आपतित किया जाता है। स्लिटो के मध्य अन्तराल 1.0 mm है। सूक्ष्मतरंगो की तीव्रता पर्दे से 1.0 m दूरी पर स्लिटो के तल के समान्तर स्थित पर्दे पर मापी जाती है, जो कि चित्र में दर्शाया गया है।

यदि आपतित पुंज द्वि-स्लिट उपकरण पर अधिलम्बवत् रूप से आपतित किया जाता है, तो पर्दे पर सभी व्यतरित निम्निष्ठ के y-निर्देशांक ज्ञात कीजिये।

Answer

(a) `pm0.26` मी, `pm1.13` मी (b) `0.26` मी, 1.13 मी

Explanation

`lambda=0.5` मिमी , `d=1.0` मिमी , `D=1` मी
(a ) जब आपतन अभिलंवत हो, तब
`S_(1)P` तथा `S_(2)P` किरणों के मध्य पथांतर
`Deltax=S_(2)P-S_(1)P=d sin theta`

निम्नतम तीव्रता के लिए,
`d sin theta=(2n-1)(lambda)/(2), n=1, 2, 3, ...... `
या `" "sin theta=((2n-1)lambda)/(2d)=((2n-1)0.5)/(2xx1.0)=(2n-1)/(4)`
चूँकि `" "sin theta le 1 , therefore ((2n-1))/(4) le 1" या "n le 2.5`
अतः n का मान 1 अथवा 2 हो सकता है|
जब `" "n=1, sin theta_(1)=(1)/(4)" या "tan theta_(1)=(1)/(sqrt(15))`
`n=2, sin thetaA_(2)=(3)/(4)" या "tan theta_(2)=(3)/(sqrt7)`
`therefore" "y=D tan theta= tan theta" (D = 1मी )"`
निम्निष्ठ की स्थिति,
`y_(1)=tan theta_(1)=(1)/(sqrt(15))=0.26` मी
`y_(2)=tan theta_(2)=(3)/(sqrt7)=1.13` मी
चूँकि निम्निष्ठ O के किसी भी ओर हो सकता है, अतः `pm0.26` मी तथा `pm1.13` मी की दूरियों पर पर्दें पर चार निम्निष्ठ हो सकते हैं|
(b ) जब `alpha=30^(@), S_(1)` तथा `S_(2)` तक पहुँचने से पूर्व किरणों में पथांतर
`Deltax_(1)=d sin alpha=(1.0) sin 30^(@)=0.5` मिमी `=lambda`
अतः पथांतर `lambda` दोनों किरणों में पहले से ही विघमान है|
केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति : केंद्रीय उच्चिष्ठ वह बिंदु है जहाँ कुल पथांतर शून्य होता है
अतः `" "Deltax_(1)=Deltax_(2)`
`rArr" "d sin alpha= d sin theta`
`rArr" "theta=alpha=30^(@)`
या `" "tan theta=(1)/(sqrt3)=(y_(0))/(D)`
या`" "y_(0)=(1)/(sqrt3)" "(D=1 मी)"`
या `" "y_(0)=0.58` मी

बिंदु P पर, `Deltax_(1)=Deltax_(2)`
बिंदु P के ऊपर, `Deltax_(2) gt Deltax_(1)` तथा
बिंदु P के नीचे, `Deltax_(1) gt Deltax_(2)`
माना `P_(1)` तथा `P_(2)` केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर निम्निष्ठ हैं, तब `P_(2)` के लिए
`Deltax_(2)-Deltax_(1)=(lambda)/(2)`
या `" "Deltax_(2)=Deltax_(1)+(lambda)/(2)=lambda+(lambda)/(2)=(3lambda)/(2)`
या `" "d sin theta_(2)=(3lambda)/(2)`
या `" "sin theta_(2)=(3lambda)/(2d)=((3)(0.5))/((2)(1.0))=(3)/(4)`
`therefore" "tan theta_(2)=(3)/(sqrt7)=(y_(2))/(D)`
या`" "y_(2)=(3)/(sqrt7)` मी `=1.13` मी
इसी प्रकार `P_(1)` के लिए
`Deltax_(1)-Deltax_(2) =(lambda)/(2)`
या `" "Deltax_(2)=Deltax_(1)-(lambda)/(2)=lambda-(lambda)/(2)=(lambda)/(2)`
या `" "d sin theta_(1)=(lambda)/(2)`
या `" "sin theta_(1)=(lambda)/(2d)=((0.5))/((2)(1.0))=(1)/(4)`
`therefore" "tan theta_(1)=(1)/(sqrt(15))=(y_(1))/(D)`
या`" "y_(1)=(1)/(sqrt(15))` मी `=0.26` मी
अतः केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के y - निर्देशांक, `y_(1)=0.26` मी तथा `y_(2)=1.13` मी|