दो आवेश -2Q तथा Q, x-y तल में क्रमश: (-3a,0) तथा (3a,0) निर्देशांकों वाले बिन्दुओं पर स्थिर हैं :
(a) दर्शाइये कि -y तल में वे सनस्त बिन्दु जहाँ दोनों आवेशों के कारण विभव शून्य है, एक वृत्त पर स्थित हैं। इस वृत्त की त्रिज्या तथा केन्द्र की स्थिति बताइये।
(b) x-अक्ष के एक व्यापक बिन्दु (general point) पर विभव P(x) का सूत्र दीजिए तथा सम्पूर्ण x-अक्ष पर फलन / (x) को चित्रित (sketch) कीजिए।
(c) यदि +q आवेश का कोई कण वृत्त के केन्द्र पर विरामावस्था से चलना प्रारम्भ करे तो संक्षिप्त गुणात्मक तर्क द्वारा यह दर्शाइये कि कण अंततः वृत्त को पार कर लेगा। ऐसा करते समय कण की चाल ज्ञात कीजिए।

Answer

(a) त्रिज्या =4a, केंद्र =(5a, 0)
(b) `V_(x)=(Q)/(4pi epsi_(0)) ((1)/(3a-x)=(2)/(3a+x)) (x le 3a" के लिए")`
`V_(x)=(Q)/(4pi epsi_(0)) ((1)/(x-3a) -(2)/(3a+x)) (x gt 3a" के लिए ")`
(c) `v=sqrt((Qq)/(8 pi epsi_(0) ma))`

Explanation

माना P(x,y) x-y तल में स्थित एक सामान्य बिंदु है बिंदु P पर वैघुत विभव
V=(Q के कारण विभव)+ (-2Q के कारण विभव)
या `V=(1)/(4pi epsi_(0)) [(Q)/sqrt((3a-x)^(2) +y^(2))]+ (1)/(4pi epsi_(0)) [(-2Q)/sqrt((3a+x)^(2)+y^(2))] ........(i)`
प्रश्नानुसार V=0
`therefore 4[(3a-x)^(2)+y^(2)]=(3a+x)^(2)+y^(2)`

हल करने पर `(x-5a)^(2)+y^(2)=(4a)^(2)`
उपरोक्त समीकरण एक वृत्त की समीकरण है जिसकी त्रिज्या 4a तथा केंद्र (5a,0) है
(b) x-अक्ष पर x=3a तथा x=-3a पर विभव अपरिभाषित है `("माना"pm oo)`,
क्योकि Q तथा -2Q इन दोनों बिन्दुओ पर स्थित है अंत: `-3a lt x lt 3a` के लिए विभव समी (i) मेंy=0 रखने पर प्राप्त होगा, अर्थार्त
`V=(Q)/(4pi epsi_(0)) [(1)/(3a-x)-(2)/(3a+x)] (-3a lt x lt 3a" के लिए")`
x=a पर V=0
x=-3a पर, `V=-oo`
तथा x=3a पर, `V=+oo`
`x gt 3a,` के लिए पुनः एक बिंदु पर विभव शून्य होगा अंत: `x gt 3a` के लिए
`V=(Q)/(4piepsi_(0)) [(1)/(x-3a)-(2)/(3a+x)]`
x=9a पर ,
`x lt -3a` के लिए
`V=(Q)/(4piepsi_(0)) [(1)/(3a-x) -(2)/(3a-x)]`
इस क्षेत्र में केवल `x=-oo` पर विभव शून्य होगा सापेक्ष में हम लिख सकते है
(i) x=3a पर, `V=+oo`
(ii) x=-3a पर, `V=-oo`
(iii) `x lt -3a" पर"`
`V=(Q)/(4pi epsi_(0)) [(1)/(3a-x)-(2)/(3a+x)]`
(iv) `-3a lt x lt 3a` के लिए
`V=(Q)/(4 pi epsi_(0)) [(1)/(3a-x) -(2)/(3a+x)]`
(v) `x gt 3a" के लिए"`

`V=(Q)/(4pi epsi_(0)) [(1)/(x-3a)-(2)/(3a+x)]`
x=a तथा x=9a पर विभव शून्य होगा। ग्राफ V-x इस प्रकार है

(c) x=5a अर्थार्त केंद्र पर विभव का मान,
`V=(Q)/(4pi epsi_(0)) [(1)/(2a)-(2)/(8a))]=(Q)/(16 pi epsi_(0) a)=" धनात्मक"`
वृत्त पर विभव का मान शून्य होगा। चूँकि केन्द्र पर विभव का मान, परिधि (circmference) पर विभव के मान से अधिक है, अत: कण वृत्त को पार कर जायेगा क्योंकि धनावेश उच्च विभव से निम्न विभव की ओर गति करता है। वृत्त को पार करते समय कण की गति, `v=sqrt((2q(triangle V))/(m))=sqrt((Qq)/(8pi epsi_(0)ma))`
यहाँ `triangleV` वृत्त के केन्द्र तथा परिधि के विभवों का अन्तर है।