(a) Q कूलॉम आवेश, R मीटर त्रिज्या के एक गोलीय आयतन में समान रूप से वितरित है, निकाय की ऊर्जा के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए।
(b) पृथ्वी ग्रह के अवयव कणों (constituent particles) को गुरुत्वीय आकर्षण के विरुद्ध पूर्णतया अलग- अलग करने के लिए आवश्यक ऊर्जा के संगत व्यंजक प्राप्त कीजिए। मान लीजिए पृथ्वी एकसमान द्रव्यमान घनत्व का गोला है पृथ्वी के द्रव्यमान तथा त्रिज्या का गुणनफल `2.5 xx 10^(31)` किग्रा-मी है।
(c) यदि वही Q कूलॉम आवेश जो भाग (a) में है, उसी त्रिज्या R के गोलीय चालक को दिया जाये तो निकाय की ऊर्जा क्या होगी ?

Answer

(a) `U=(3)/(20) (Q^(2))/(pi epsi_(0) R)`
(b) `U=-(3 GM^(2))/(5R) , E=1.5 xx 10^(32)" जूल"`
(c) `U=(Q^(2))/(8 pi epsi_(0)R)`

Explanation

इस स्थिति में वैद्युत क्षेत्र गोले के केन्द्र से अनन्त तक फैला हुआ है। वैद्यत क्षेत्र में स्थितिज ऊर्जा संचित है जिसका ऊर्जा घनत्व `u=1/2 epsi_(0) E^(2)" है|"`
(i) गोले में संचित ऊर्जा `(U_1)`
r दूरी पर वैद्युत क्षेत्र
`E=1/(4pi epsi_(0)) .Q/R^(3) .r`
`u=1/2 epsi_(0) E^(2)=epsi_(0)/2 {(1)/(4pi epsi_(0)). Q/R^(3) r}^(2)`
किसी अवयव का आयतन, `dV =(4pi r^(2))dr`
इस आयतन में संचित ऊर्जा, `dU =u(dV)`
या `dU =(4pi r^(2) dr) epsi_(0)/2 {(1)/(4pi epsi_(0)). Q/R^(3) r}^(2)`
`dU =(1)/(8 pi epsi_(0)). r^(4) dr`
`therefore U_(1)=int_(0)^(R) dU =(1)/(8 pi epsi_(0)) Q^(2)/R^(6) int _(0)^(R) r^(4) dr`
या `=Q^(2)/(40 pi epsi_(0) R^(6)) [r^(5)]_(0)^(R)`
या `U_(1)=(1)/(4 pi epsi_(0)) . Q^(2)/R .....(A)`
(ii) गोले के बहार सचित्र ऊर्जा `(U_(2))`
r दुरी पर वैघुत क्षेत्र
`E=(1)/(4pi epsi_(0)) . Q/r^(2)`
`therefore u=1/2 epsi_(0) E^(2)=epsi_(0)/2 {(1)/(4pi epsi_(0)). Q/r^2}^(2)`
`rAr dU=(4pi r^(2)dr)`
`dU=u.dV=(4pi r^(2) dr) [epsi_(0)/2 ((1)/(4pi epsi_(0)).Q/r^(2))^(2)]`
या `dU=Q^(2)/(8pi epsi_(0)) (dr)/(r^(2))`
`U_(2)=int_(R)^(oo) dU=(Q^(2))/(8 pi epsi_(0)), int_(R)^(oo) (dr)/(r^(2))`
या `U_2 =(Q^(2))/(8 pi epsi_(0) R) ......(B)`
निकाय की कुल ऊर्जा
`U=U_(1)+U_(2)=(Q^(2))/(40 pi epsi_(0)R)+Q^(2)/(8 pi epsi_(0)R)`
या `U=(3)/(20) (Q^(2))/(pi epsi_(0)R)`
(b) ऊर्जा के व्यंजक की तुलना गुरुत्वीय बलों से करने पर पृथ्वी की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होगी, `U=-3/5 (GM^(2))/(R)`
`Q^(2)` के स्थान पर `M^(2)` तथा `(1)/(4pi epsi_(0))` के स्थान पर G रखने पर
`g=(GM)/(R^(2)) therefore G=(gR^(2))/(M)`
`U=(-3)/(5) MgR`
पृथ्वी के अवयव कानो को गुरुत्वीय बल से मुक्त करने में आव्यशयक ऊर्जा
`E=|U|=3/5 MgR`
`=3/5 xx 10 xx 2.5 xx 10^(31)`
`=1.5 xx 10^(32)"जूल"`
(c) R त्रिज्या के आवेशित गोलीय चालक की ऊर्जा
`U=1/2 Q^(2)/C`
या `U=1/2 .(Q^(2))/(4pi epsi_(0)R)`
या `U=Q^(2)/8 pi epsi_(0)R`