धारिता C वाले एक समान्तर प्लेट संघारित्र की प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल A तथा इनके बीच की दूरी d है । प्लेटों के बीच का स्थान चित्र के अनुसार दो वेजों (wedges ) जिनके परावैद्युतांक क्रमश: `K_1" तथा "K_2` हैं, से भरा है। परिणामी संघारित्र की धारिता ज्ञात कीजिए।

Answer

`C_(R)=(CK_(1)K_(2))/(K_(2)-K_(1))ln (K_(2))/(K_(1))" जहाँ "C=(epsi_(0)A)/(d)`

Explanation

माना संधारित्र की प्लेटो की लम्बाई व् चौड़ाई क्रमश: l व् b है, जबकि प्लेटो के बिच की दुरी d है। माना x दुरी पर dx मोटाई की एक पट्टी है तब
`QR= x tan theta`
तथा `PQ=d-x tan theta" जहाँ " tan theta=d//l`
PQ की धारिता `C_(1)=(K_(1) epsi_(0) (bdx))/(d-x tan theta))=(K_(1) epsi_(0) (bdx))/(d-(xd)/(1))`
या `C_(1)=(K_(1) epsi_(0) bdx)/(d(l-x))=(K_(1) epsi_(0) Adx)/(d(l-x))`
तथा `C_(2)=QR" की धारिता"`
`=(K_(2) epsi_(0) b(dx))/(x. tan theta)`
या `=(K_(2) epsi_(0) A (dx))/(xd)" "(tan theta=d/l)`
`C_(1)" व् "C_(2)` श्रेणी क्रम में है अंत: उनकी परिणामी धारिता
`1/C_(0)=1/C_(1)+1/C_(2)`
या `(1)/(C_(0))=(d(l-x))/(K_(1) epsi_(0) A(dx))+(x.d)/(K_(2) epsi_(0) A(dx))`
या `(1)/(C_(0))=(d)/(epsi_(0)A (dx)) ((l-x)/(K_(1))+(x)/(K_(2))`
या `C_(0)=(epsi_(0) AK_(1)K_(2))/(d{K_(2)l+(K_(1)-K_(2))x}) dx`
दिए गए समांतर प्लेट संधारित्र की कुल धारिता उपरोक्त प्रकार के संधारित्रों (जोकि x=0 से x=l तक एक-दूसरे के समांतर रखे गए है) की धारिताओ के योग के बराबर होगी।
अर्थार्त `C_(R)=int_(x=0)^(x=1) C_(0)=int_(0)^(1) (epsi_(0) AK_(1)K_(2))/({K_(2)l+(K_(1)-K_(2))x}) dx`
`=(K_(1)K_(2) epsi_(0)A)/((K_(2)-K_(1))d) ln (K_(2)/K_(1))`
`rArr C_(R)=(CK_(1)K_(2))/(K_(2)-K_(1)) ln K_(2)/K_(1)," जहाँ "C=(epsi_(0)A)/(d)`