r त्रिज्या का एक चालक गोला `S_(1)` विघुतरोगी हैण्डिल से सम्बन्ध है एक दूसरा चालक गोला `S_(2)`, जिसकी त्रिज्या R है एक विघुतरोगी स्टैण्ड पर ज्यादा है गोला `S_(2)` प्रारंभ में अनाववेशित है गोले `S_(1)" को " Q` आवेश दिया जाता है उसे `S_(2)` के संपर्क में लाया जाता है तथा फिर हटा लिया जाता है `S_(2)` को पुनः आवेशी किया जाता है जिससे की उस पर पुनः Q आवेश हो जाता है पुनः इसको `S_(2)` के संपर्क में लाया जाता है तथा हटा लिया जाता है यही क्रिया बार n दोहराई जाती है
(a) `S_1` के साथ इस प्रकार के n सम्पर्कों के पश्चात् `S_2` की स्थिरवैद्युत ऊर्जा ज्ञात कीजिए
(b) इस ऊर्जा का सीमान्त मान क्या होगा, यदि `n to oo`

Answer

`U_(n)=(q_(n)^(2))/(8 pi epsi_(0)R)` (b) `U_(oo) =(Q^(2)R)/(8 pi epsi_(0) r^(2))`
जहाँ `q_(n) =(QR)/(r) [1-((R)/(R+r))^(n)]`

Explanation

गोलीय चालकों की धारितायें उनकी त्रिज्याओं के अनुपात में होती हैं। माना `S_1" तथा "S_2` की धारितायें `C_1" व "C_2` हैं तब `C_(2)/C_(1)=R/r `
(a) आवेशो का वितरण धारिताओं के अनुपात में होगा। माना पहले सम्पर्क में `S_2` द्वारा प्राप्त आवेश, `q_(1)" अत: "S_1` पर आवेश `Q-q_(1) (=q_(1)')" होगा"|`
`therefore q_(1)/q_(2)=(q_(1))/(Q-q_(1))=C_(2)/C_(1)=R/r`
`therefore q_(1)=Q ((R)/(R+r)) .......(i)`
दूसरे संपर्क में `S_(1)` पुनः उसी अनुपात में वितरित होगा, अंत: `S_(1)" व् "S_(2)`पर कुल आवेश
`Q+q_(1)=Q (1+(R)/(R+r))`
यह आवेश पुनः उसी अनुपात में वितरित होगा, अंत: दूसरे संपर्क में `S_(2)` पर आवेश
`q_(2)=Q(1+(R)/(R+r)) ((R)/(R+r)) =Q[(R)/(R+r) +((R)/(R+r))^(2)]`
इसी प्रकार
`q_(3)=Q [(R)/(R+r) +((R)/(R+r))^(2)+((R)/(R+r))^(3)]`
तथा `q_(n)=Q [(R)/(R+r) +((R)/(R+r))^(2)+.....+((R)/(R+r))^(n)]`
या `q_(n)=Q""R/r [1- ((R)/(R+r))^(n))].........(i)` `[S_(n)=(a(1-r^(n))/((1-r)) "के प्रयोग से"]`
n सम्पर्को के बाद की स्थिर वैघुत ऊर्जा
`U_(n)=(q_(n)^(2))/(2C)=(q_(n)^(2))/(2(4pi epsi_(0)R))" या "U_(n)=(q_(n)^(2))/(8 pi epsi_(0)R)`
जहाँ `q_(n)` का मान समी (i) से लिखा जा सकता है
चुकी `n to oo`
`q_(oo)=Q""R/r`
`therefore U_(oo) =(q_(oo)^(2))/(2C)=(Q^(2)R^(2)//r^(2))/(8 pi epsi_(0)R)`
या `U_(oo)=(Q^(2)R)/(8 pi epsi_(0) r^(2))`