एक कुचालक चकती जिसकी त्रिज्या a एवं समरूप क्षेत्रिय आवेश घनत्व `sigma` है, को जमीन पर रखा गया है इसके केन्द्र से गुजरने वाला अक्ष उर्ध्वाधर है| m द्रव्यमान एवं q आवेश का कण अक्ष के अनुदिश H ऊँचाई से शून्य प्रारम्भिक वेग से छोडा गया। कण के लिये `q/m = (4 epsi_0 g)/(sigma)`
(a) यदि कण चकती तक पहुँच जाए इसके लिये H का मान ज्ञात करें।
(b) कण की स्थितिज ऊर्जा का ऊँचाई के साथ ग्राफ बनाये एवं साम्यावस्था की स्थिति ज्ञात करें।

Answer

(a) `H=4/3a` (b) `H=a/sqrt3`

Explanation

डिस्क में निहित आवेश `dq=(2 pi r dr) sigma`
डिस्क के कारण P पर विभव
`dV=(1)/(4pi epsi_(0)).(dq)/(x)`
जहाँ `x=sqrt(H^(2)+r^(2))`
`dV=(1)/(4pi epsi_(0)). ((2pi rdr) sigma)/sqrt(H^(2)+r^(2))`
`=(sigma)/(2epsi_(0)) (rdr)/sqrt(H^(2)+r^(2))`

सम्पूर्ण डिस्क के कारण विभव `V_(P)int_(r=0)^(r=a) dV=sigma/(2epsi_(0)) int_(r=0)^(r=0) (rdr)/sqrt(H^(2)+r^(2)`
`V_(P)=sigma/(2 epsi_(0)) [sqrt(a^(2))+H^(2)-H]`
केंद्र O पर विभव `V_(O)=(sigma a)/(2 epsi_(0)) (H=0)`
(a) कण P से छोड़ा गया है तथा यह बिंदु O पर पहुँचता है ऊर्जा संरक्षण के नियम से, गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी =स्थिर वैघुत ऊर्जा में वृद्धि
`rArr mgH=q (V_(O)-V_(P)) (triangle KE=0 therefore K_(i)=K_(f)=0)`
या `gH=(q/m) (sigma/(2epsi_(0)) t-sqrt(a^(2)+H^(2))+H] .....(i)`
या `q/m =(4pi epsi_(0) g)/(sigma)`
`therefore (q sigma)/(2 epsi_(0) m)=2g`
ययह मान समी (i) में रखने पर
`gH=2g [a+H-sqrt(a^(2)+H^(2))]`
या `H/2=(a+H)-sqrt(a^(2)+H^(2))`
या `a^(2)+H^(2)=a^(2)+H^(2)/4 +aH`
`rArr H=4/3 a" तथा "H=0`
`therefore H=4/3a`
(b) उचाई H पर कण की स्थितिज ऊर्जा =स्थिर वैघुत ऊर्जा +गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा
`U=qV=mgH`
यहाँ V=H उचाई पर विभव
या `U=(sigma q)/(2 epsi_(0)) [sqrt(a^(2)+H^(2))-H]+mgH ....(ii)`
समान्यवस्था में, `F=(-dU)/(dH)=0`
समी (ii) से (अवकलन करने पर)
`mg +sigma/(2epsi_(0)) [(1/2) (2H) (1)/sqrt(a^(2)+H^(2))-1] =0 (therefore (sigma q)/(2peis_(0)) =2mg)`
`thererfore mg+2mg [(H)/(sqrt(a^(2)+H^(2))-1]=0`
या `1+(2H)/sqrt(a^(2)+H^(2))-2=0`

या `(2H)/sqrt(a^(2)+H^(2))=1 rArr 3H^(2)=a^(2)`
या `H=a/sqrt3`
समी (ii) से,
`U=mg (2 sqrt(a^(2)+H^(2))-H) ("परवलयाकार परिवर्तन")`
`U=2mga " (H=0 पर")`
तथा `U=U_("min")=sqrt3 mga (H=a/sqrt3"पर")`
U-H ग्राफ चित्रानुसार होगा

`H=a/sqrt3` पर U न्यूनतम है
अंत: `H=a/sqrt3` स्थायी सामान्यावस्था है