चार बिन्दु आवेश `+8muC, -1muC,-1muC` तथा `+8muC,` y- अक्ष पर क्रमशः बिन्दुओं `-sqrt(27//2)" मी, "-sqrt(3//2)" मी, "+sqrt(3//2)" मी तथा "+sqrt(27//2)` मी पर स्थित हैं। `6 xx 10^(-4)` किग्रा द्रव्यमान तथा +0.1 `muC` आवेश का एक कण x- दिशा के अनुदिश चलता है। इसकी `x=+oo` पर चाल `v_(0)` हैं।`v_(0)` का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए कण मूल बिन्दु से गुजर जायेगा , मूल विन्दु पर कण की गतिज ऊर्जा भी ज्ञात कीजिए। मान लीजिए कि स्थान गुरुत्वहीन है। (दिया है- ` 4pi epsi_(0)=9 xx 10^(9) "न्यूटन-मी"^(2)" कूलॉम"^(-2))`

Answer

`(V_(0))_("min")="3 मी से"^(-1), K=3 xx 10^(-4)" जूल"`

Explanation

प्रश्नानुसार `q=1muC=10^(-6)C,`
`q_(0)=+10.1 muC=10^(-7)C`,
`m=6 xx 10^(-4)" किग्रा ",Q=8mu C=8 xx 10^(-6)C`

माना मूल बिंदु O से x दुरी पर कोई बिंदु P है तब
`AP=CP=sqrt(3/2+x^(2))`
`BP=DP=sqrt((27)/2+x^(2))`
P बिंदु पर वैघुत विभव
`V=(2KQ)/(BP)-(2Kq)/(AP)`
जहाँ `K=(1)/(4pi epsi_(0)) =9 xx 10^(9)"न्यनतम-मी"^(2) " कुलाम"^(-2)`
`V=2 xx 9 xx 10^(9) [(8 xx 10^(-6))/sqrt((27/2)+x^(2)) -(10^(-6))/sqrt(3/2+x^(2))]`
या `V=1.8 xx 10^(4) [(8)/sqrt((27)/(2)+x^(2))-(1)/sqrt(3/2+x^(2))]......(i)`
P पर वैघुत क्षेत्र `E=-(dV)/(dX)=1.8 xx 10^(4) [(8) ((-1)/(2)) ((27)/(2)+x^(2)) ^(-3//2)-(-1/2) (3/2+x^(2)) ^(-3//2)](2x)`
x-अक्ष पर E=0 जहाँ x=0
या `(8)/((27)/(2)+x^(2))^(3//2)=(1)/((3)/(2)+x^(2))^(3//2)`
`rArr ((4)^(3//2))/((27)/(2)+x^(2))^(3//2))=(1)/((3)/(2)+x^(2))^(3//2))`
`rArr ((27)/(2)+x^(2))=4 (3/2+x^(2))`
`rArr x=pm sqrt(5/2)" मी "`
अनंत पर कण की गतिज ऊर्जा का निम्नतम मान कण को `x=pm sqrt(5/2)` मी पर ले जाने के लिए पर्याप्त होना चाहिए,
क्योकि `x=pm sqrt(5/2)" मी पर "E=0`
`rArr` आवेश q पर स्थिर वैघुत बल शून्य है `(F_(e)=0)`
`x gt sqrt(5/2)=` के लिए E प्रतिकर्षण की ऊर्जा है (धन x -अक्ष की दिशा में)
`x lt sqrt(5/2)` के लिए E अकर्षण की ऊर्जा है (ऋण x -अक्ष की दिशा में)
पुनः समी (i) से, `x=sqrt(5/2)` पर विभव
`V=1.8 xx 10^(4) [((8)/sqrt((27)/(2)+5/2))-(1)/sqrt(3/2+5/2)]`
`V=2.7 xx 10^(4)"वोल्ट"`
`x=oo "तथा" x= sqrt(5/2)` पर ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत से
`1/2 mv_(0)^(2) =q_(0)V .........(ii)`
`therefore v_(0)=sqrt((2q_(0)V))/(m)`
`=sqrt((2 xx 10^(-7) xx 2.7 xx 10^(4))/(6 xx 10^(-4)) =3" मी से"^(-1)`
समी (i) से मूल बिंदु पर विभव
`V_(0)=1.8 xx 10^(4) [(8)/sqrt((27)/(2))-(1)/sqrt(3/2)]`
`approx 2.4 xx 10^(4)" वोल्ट "`
माना मूल बिंदु पर कण की गतिज ऊर्जा K है x=0 तथा `x=oo` पर ऊर्जा संरक्षण के नियम से, `K+q_(0)V_(0)=(1)/(2) mv_(0)^(2)`
परन्तु `1/2 mv_(0)^(2)=q_(0)V" [समी (ii) से]"`
`K=q_(0) (V-V_(0))`
`=(10^(-7)) (2.7 xx 10^(4) -2.4 xx 10^(4))`
`K=3 xx 10^(-4)" जूल"`