किसी भी धनात्मक पूर्णांक (positive integer n) के लिए,
`f_(n): (0, infty) to R`
`f_(n)(x) =sum_(j=1)^(n) tan^(-1) (1/(1+(x+j)(x+j-1)))` सभी `x in (0, infty)` के लिए, के द्वारा परिभाषित है| (यहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse trignometric function) `tan^(-1)x,(-pi/2, pi/2)` में मान धारण करता है)| तब निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?

Options

A. `sum_(i=1)^(5) tan^(2)(f_(i)(0))=55`
B. `sum_(i=1)(10)(1+f_(i)^(')(0)sec^(2)(f_(i)(0))=10`
C. किसी भी नियत (fixed) धनात्मक पूर्णांक n के लिए, `lim_(x to infty) tan(f_(n)(x))=1/n`
D. किसी भी नियत (fixed) धनात्मक पूर्णांक n के लिए, `lim_(x to infty) sec^(2)(f_(n)(x))=1`

Answer

D