वृत्त `x^2 +y^2=2` तथा परवलय (parabola) `y^2 = 8x` की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखायें (common tangents) वृत्त को `P,Q` पर तथा परवलय को `R,S` पर स्पर्श करती है। तब चतुर्भुज (quadrilateral) `"PQRS"` का क्षेत्रफल है -

Options

A. `3`
B. `6`
C. `9`
D. `15`

Answer

D

Explanation

प्रश्न विश्लेषण
(i) परवलय के स्पर्श रेखा की समीकरण `y=mx+a/m`
(ii) एक रेखा वृत्त की स्पर्शी होगी। यदि केंद्र से रेखा की दुरी उसकी त्रिज्या के बराबर हो।
(iii) बाह्य बिंदु `(x_(1),y_(1))` से वृत्त/ परवलय पर खींची गयी जीवा की समीकरण T=0 होगी।
(iv) समलम्ब चतुर्भुज (Trapezium) का क्षेत्रफल `=1/2 "(समांतर रेखाओ का योग) "xx "(उनके बिच की दुरी)"`
माना परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण `y=mx+2/m" है"`
यह रेखा वृत्त `x^(2)+y^(2)=2` है को स्पर्श करती है

`therefore |(2)/(m+sqrt(1+m^(2))|=sqrt2`
`rArr m^(4)+m^(2)=2` `rArr (m^(2)-1) (m^(2)+2)=0` `rArr m= pm 1, m^(2)=-2 [m^(2)=2" अस्वीकार"]`
अंत: स्पर्श रेखाओ `y=x+2, y=-x-2` है तथा वे एक-दूसरे को बिंदु (-2,0) पर कटती है।
अंत: जीवा PQ की समीकरण `-2x =2 rArr x=-1` है
तथा जीवा RS की समीकरण `0=4 (x-2) rArr x=2` है
P,Q, R तथा S के निर्देशांक P(-,1,1), Q(-1,-1), R(2,4) तथा S(2,-4) है
अर्थार्त PQRS का क्षेत्रफल `=((2+8) xx 3)/(2)=15" वर्ग इकाई"`