माना O शीर्ष तथा Q परवलय: `x^(2)=8y` पर स्थित कोई बिन्दु है। यदि बिन्दु P, रेखाखण्ड QQ को अन्तः 1: 3 के अनुपात में विभाजित करता है, तब P का बिन्दुपथ होगा

Options

A. `x^(2)=y`
B. `y^(2)=x`
C. `y^(2)=2x`
D. `x^(2)=2y`

Answer

D

Explanation

परवलय `x^(2)=8y` पर कोई बिंदु `(4t, 2t^(2))` है। बिंदु P, बिन्दुओ O(0,0) तथा `Q(4t,2t^(2))` को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है। इशलिये अंत: विभाजन का सूत्र प्रयोग कीजिये। परवलय का समीकरण निम्न है
`x^(2)=8y ........(i)`
माना परवलय (i) पर कोई बिंदु `Q(4t,2t^(2))" है।"`
माना P(h,k) बिन्दुओ (0,0) तथा `(4t,2t^(2))` को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है

`therefore h=(1 xx 4t +3 xx 0)/(4)`
`rArr h=t`
तथा `k=(1 xx 2t^(2)+3 xx 0)/(4)`
`rArr k=t^(2)/2`
`rArr k=1/2 h^(2)`
`rArr 2k=h^(2)`
`rArr 2y=x^(2)," जोकि अभीष्ट बिन्दुपथ है "`